Um resevatório de água industrial com tampa aberta, deixado exposto aos elementos por anos a fio, começa a exibir rachaduras na sua estrutura. Uma dessas rachaduras eventualmente trinca, se transformando em um pequeno buraco a uma distância
abaixo da superfície da água dentro do reservatório. Se o buraco está a uma altura
do solo, obtenha uma expressão para a velocidade da água ao chegar ao solo.
Formulário: A equação de Bernouli pode ser escrita como
onde
é a pressão do fluido em um determinado ponto,
sua densidade e
e
são respectivamente a velocidade e a altura do fluido neste mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há um reservatório de água com a tampa aberta (logo a superfície está à pressão atmosférica).
- Uma rachadura virou um pequeno buraco localizado a uma distância
abaixo da superfície da água dentro do reservatório. - Esse buraco está a uma altura
do solo. - Dados físicos conhecidos: densidade da água
e aceleração da gravidade . - Pergunta: obter uma expressão para a velocidade da água ao chegar ao solo (velocidade no instante em que a corrente atinge o solo).
Informações relevantes listadas:
- Profundidade do orifício em relação à superfície:
. - Altura do orifício em relação ao solo:
. - Superfície e saída do orifício estão expostas ao ar (pressão atmosférica).
- Admitimos fluxo ideal (sem viscosidade, orifício pequeno comparado ao reservatório para que a velocidade da superfície seja desprezível).
Passo 2
Definimos dois pontos de interesse para resolver o problema:
- Ponto 1: na superfície livre da água (altura acima do solo igual a
). - Ponto 2: imediatamente fora do orifício (altura acima do solo igual a
).
Observações físicas e suposições que usaremos:
- A pressão em Ponto 1 e em Ponto 2 é a pressão atmosférica ) porque ambos estão em contato com o ar.
- A velocidade da superfície pode ser considerada desprezível:
, porque o reservatório é grande comparado ao orifício. - A velocidade de saída no orifício será chamada de
(velocidade no instante de saída do orifício). - Depois de sair, a água cai livremente por uma altura
até o solo, acelerada pela gravidade.
Passo 3
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre Ponto 1 (superfície) e Ponto 2 (saída do orifício). A equação de Bernoulli em forma geral é:
Aplicando entre Ponto 1 e Ponto 2:
onde
representa a altura vertical acima de um referencial (aqui usamos altura acima do solo),
é a pressão,
a velocidade.
Passo 4
Substituímos as quantidades conhecidas:
-
(pressão atmosférica). -
. -
. -
(superfície) e (orifício).
A equação fica:
Subtraindo
de ambos os lados:
Cancelamos
(assumindo
) e isolamos
:
Comentário didático rápido: essa fórmula é a conhecida fórmula de Torricelli. Física por trás: a energia potencial associada à queda de altura
(da superfície até o orifício) transforma-se em energia cinética da água ao sair.
Passo 5
Agora a água, com velocidade horizontal/saída
(ou em geral com a velocidade que saiu), percorre uma queda livre vertical de altura
até o solo. Durante essa queda a componente da velocidade pode aumentar por ação da gravidade. Para obter a velocidade total ao atingir o solo podemos usar a conservação de energia mecânica ou as equações cinemáticas.
Usando conservação de energia (mais direto aqui): a velocidade no solo
satisfaz
o que é equivalente às equações cinemáticas que dariam
.
Passo 6
Substituímos
na expressão do passo anterior:
Portanto:
Interpretação física: a velocidade ao chegar ao solo corresponde à velocidade que um elemento de fluido teria se caísse livremente desde a superfície do reservatório até o solo, isto é, convertendo a diferença total de altura
em energia cinética. Isso confirma a intuição de que a velocidade depende da perda total de altura entre superfície e impacto.
Passo 7
Notas finais e suposições importantes (para você lembrar na prova):
- Pressões iguais em superfície e saída justificam cancelamento de
. - Desprezamos perdas por atrito/viscosidade e resistência do ar.
- Desprezamos a velocidade da superfície (
) — válido se o reservatório é muito maior que o orifício. - Dimensionalmente a expressão está correta:
e dão .
Força, você está indo bem — essa dedução aparece muito em provas e é fácil de relembrar como “velocidade equivalente a cair de
”!