Um resevatório de água industrial com tampa aberta, deixado exposto aos elementos por anos a fio, começa a exibir rachaduras na sua estrutura. Uma dessas rachaduras eventualmente trinca, se transformando em um pequeno buraco a uma distância h abaixo da superfície da água dentro do reservatório. Se o buraco está a uma altura H do solo, obtenha uma expressão para a velocidade da água ao chegar ao solo.
Formulário: A equação de Bernouli pode ser escrita como
p+\frac{1}{2} \rho v^{2}+\rho g h=\text { constante }
onde p é a pressão do fluido em um determinado ponto, \rho sua densidade e v e h são respectivamente a velocidade e a altura do fluido neste mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há um reservatório de água com a tampa aberta (logo a superfície está à pressão atmosférica).
  • Uma rachadura virou um pequeno buraco localizado a uma distância h abaixo da superfície da água dentro do reservatório.
  • Esse buraco está a uma altura H do solo.
  • Dados físicos conhecidos: densidade da água \rho e aceleração da gravidade g.
  • Pergunta: obter uma expressão para a velocidade da água ao chegar ao solo (velocidade no instante em que a corrente atinge o solo).
Informações relevantes listadas:
  • Profundidade do orifício em relação à superfície: h.
  • Altura do orifício em relação ao solo: H.
  • Superfície e saída do orifício estão expostas ao ar (pressão atmosférica).
  • Admitimos fluxo ideal (sem viscosidade, orifício pequeno comparado ao reservatório para que a velocidade da superfície seja desprezível).

Passo 2

Definimos dois pontos de interesse para resolver o problema:
  • Ponto 1: na superfície livre da água (altura acima do solo igual a H+h).
  • Ponto 2: imediatamente fora do orifício (altura acima do solo igual a H).
Observações físicas e suposições que usaremos:
  • A pressão em Ponto 1 e em Ponto 2 é a pressão atmosférica \(p_{\text{atm}}) porque ambos estão em contato com o ar.
  • A velocidade da superfície pode ser considerada desprezível: v_1 \approx 0, porque o reservatório é grande comparado ao orifício.
  • A velocidade de saída no orifício será chamada de v_{\text{out}} (velocidade no instante de saída do orifício).
  • Depois de sair, a água cai livremente por uma altura H até o solo, acelerada pela gravidade.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre Ponto 1 (superfície) e Ponto 2 (saída do orifício). A equação de Bernoulli em forma geral é:
p+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g h=\text{constante}
Aplicando entre Ponto 1 e Ponto 2:
p_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g y_{1}=p_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g y_{2}
onde y representa a altura vertical acima de um referencial (aqui usamos altura acima do solo), p é a pressão, v a velocidade.

Passo 4

Substituímos as quantidades conhecidas:
  • p_{1}=p_{2}=p_{\text{atm}} (pressão atmosférica).
  • v_{1}\approx 0.
  • v_{2}=v_{\text{out}}.
  • y_{1}=H+h (superfície) e y_{2}=H (orifício).
A equação fica:
p_{\text{atm}}+\frac{1}{2}\rho\cdot 0^{2}+\rho g (H+h)=p_{\text{atm}}+\frac{1}{2}\rho v_{\text{out}}^{2}+\rho g H
Subtraindo p_{\text{atm}}+\rho g H de ambos os lados:
\rho g h=\frac{1}{2}\rho v_{\text{out}}^{2}
Cancelamos \rho (assumindo \rho\neq 0) e isolamos v_{\text{out}}:
\frac{1}{2}v_{\text{out}}^{2}=g h
v_{\text{out}}=\sqrt{2 g h}
Comentário didático rápido: essa fórmula é a conhecida fórmula de Torricelli. Física por trás: a energia potencial associada à queda de altura h (da superfície até o orifício) transforma-se em energia cinética da água ao sair.

Passo 5

Agora a água, com velocidade horizontal/saída v_{\text{out}} (ou em geral com a velocidade que saiu), percorre uma queda livre vertical de altura H até o solo. Durante essa queda a componente da velocidade pode aumentar por ação da gravidade. Para obter a velocidade total ao atingir o solo podemos usar a conservação de energia mecânica ou as equações cinemáticas.
Usando conservação de energia (mais direto aqui): a velocidade no solo v_{\text{ground}} satisfaz
\frac{1}{2}v_{\text{ground}}^{2}=\frac{1}{2}v_{\text{out}}^{2}+g H
o que é equivalente às equações cinemáticas que dariam v_{\text{ground}}^{2}=v_{\text{out}}^{2}+2gH.

Passo 6

Substituímos v_{\text{out}}^{2}=2 g h na expressão do passo anterior:
v_{\text{ground}}^{2}=2 g h+2 g H=2 g (h+H)
Portanto:
v_{\text{ground}}=\sqrt{2 g (h+H)}
Interpretação física: a velocidade ao chegar ao solo corresponde à velocidade que um elemento de fluido teria se caísse livremente desde a superfície do reservatório até o solo, isto é, convertendo a diferença total de altura h+H em energia cinética. Isso confirma a intuição de que a velocidade depende da perda total de altura entre superfície e impacto.

Passo 7

Notas finais e suposições importantes (para você lembrar na prova):
  • Pressões iguais em superfície e saída justificam cancelamento de p_{\text{atm}}.
  • Desprezamos perdas por atrito/viscosidade e resistência do ar.
  • Desprezamos a velocidade da superfície ( v_{1}\approx 0) — válido se o reservatório é muito maior que o orifício.
  • Dimensionalmente a expressão está correta: [g]=\mathrm{m/s^{2}} e [h+H]=\mathrm{m} dão [v]=\mathrm{m/s}.
Força, você está indo bem — essa dedução aparece muito em provas e é fácil de relembrar como “velocidade equivalente a cair de h+H”!

Resposta

\displaystyle v_{\text{ground}}=\sqrt{2g(h+H)}

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