Bolas de bilhar no nível fundamental. (a) Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa, supondo que a partícula seja uma bola de bilhar (
) e que a largura da caixa seja
, o tamanho de uma mesa de bilhar. (Suponha que a bola deslize sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.) (b) Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra? © Qual é a diferença de energia entre os níveis
? (d) Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre níveis de energia quântica aplicado a bolas de bilhar. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o modelo da partícula em uma caixa. Esse modelo ajuda a entender como uma partícula, como nossa bola de bilhar, pode ter níveis de energia discretos quando está confinada em um espaço limitado. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados do problema:
- Massa da bola de bilhar, $ m = 0,20 , kg $
- Largura da caixa (mesa de bilhar), $ L = 1,3 , m $
Estamos supondo que a bola desliza sem atrito, então só precisamos considerar a energia cinética.
Passo 3
O problema pede para determinarmos o nível de energia mais baixo para a partícula na caixa. No modelo de partícula em uma caixa unidimensional, os níveis de energia são dados pela fórmula:
onde:
- $ E_n $ é o nível de energia no estado quântico $ n $
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $)
- $ n $ é o número quântico (inteiro positivo: 1, 2, 3, …)
Passo 4
Vamos calcular o nível de energia mais baixo, que corresponde a $ n = 1 $:
Precisamos dos valores das constantes:
- Constante de Planck, $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
- Portanto, $ \hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6,626 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1,054 \times 10^{-34} , J·s $
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule $ \hbar^2 $:
Agora, calcule o denominador:
Multiplicando por $ \pi^2 $:
Então,
Resposta
O nível de energia mais baixo para a bola de bilhar na caixa é aproximadamente $ 1,623 \times 10^{-67} , J $.