Considere uma função de onda dada por psi(x)=A sen k x, onde k=2 pi / lambda e A é uma constante real. (a) Para que valores de x existe a maior probabilidade de encontrar a partícula descrita por essa função de onda? Explique. (b) Para que valores de x a probabilidade é zero? Explique.
40.6 bul<=t Calcule |Psi|^2 para Psi=psi sen omega t, onde psi é independente do tempo e omega é uma constante real. Trata-se de uma função de onda para um estado estacionário? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado tá na área de Mecânica Quântica e fala de duas coisas principais:
  1. Uma função de onda psi(x)=Asin(kx) (com k=2pi/lambda) e a interpretação de probabilidade associada a ela.
  2. Uma “outra” função de onda Psi(x,t)=psi(x),sin(omega t) e se isso é um estado estacionário.
    O que a gente vai usar:
  • A regra de Born: densidade de probabilidade é P(x)=|psi(x)|^2.
  • Propriedades da função sin(theta) (quando é zero e quando atinge valor máximo).
  • Definição de estado estacionário: |Psi(x,t)|^2 tem que ser independente do tempo.

Passo 2

(a) Primeiro, pra saber onde a probabilidade de achar a partícula é máxima, calculamos
P(x)=|psi(x)|^2 ;=; A^2sin^2(kx),
A probabilidade é máxima quando sin^2(kx)=1, ou seja quando sin(kx)=pm1. Isso acontece quando
kx = pi2 + npi, ninZ
Como k=2pi/lambda, a solução para x é
x = 1kl(pi2+npir) ;=; lambda2pil(pi2+npir) ;=; (2n+1),lambda4,

Passo 3

(b) Agora a probabilidade é zero quando sin^2(kx)=0, ou seja sin(kx)=0. Isso ocorre em
kx = npi, ninZ,
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x = npik = npi2pi/lambda = n,lambda2,

Passo 4

© Para Psi(x,t)=psi(x),sin(omega t), o módulo quadrado é
$$|\Psi(x,t)|^2 ;=; \bigl|\psi(x)\bigr|^2;\bigl|\sin(\omega t)\bigr|^2
;=; \psi2(x),\sin2(\omega t),. $$
Repara que aparece um fator |Psi(x,t)|^2 ;=; l|psi(x)r|^2;l|sin(omega t)r|^2 ;=; psi^2(x),sin^2(omega t), que varia com o tempo.
Um estado é “estacionário” quando sin^2(omega t) não depende de |Psi|^2. Aqui depende, então não é estacionário.

Resposta

(a) Máxima em x=(2n+1),lambda4,,;ninZ.
(b) Zero em x= n,lambda2,,;ninZ.
© |Psi|^2=psi^2(x),sin^2(omega t) e, como isso depende de t, não é um estado estacionário.

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