Uma partícula é descrita por uma função de onda
, onde
e
são constantes reais positivas. Se o valor de
aumenta, qual é o efeito que isso tem sobre (a) a incerteza da partícula na posição e (b) a incerteza da partícula no momento linear? Explique suas respostas.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a função de onda é
com
e
. O lance aqui é Mecânica Quântica básica: identificar como a “largura” dessa gaussiana em
(que é a incerteza
) e a “largura” em
(a incerteza
) mudam quando
cresce. Pra isso a gente vai normalizar
, calcular
e usar o Princípio da Incerteza para achar
.
Passo 2
Normalizando e achando
- Normalização:
- Cálculo de
e : - Simetria da gaussiana dá
. - Usa a fórmula
com. Resultado:
- Simetria da gaussiana dá
- Incerteza em
:
Logo, quando
aumenta,
\emph{diminui}.
Passo 3
Achando
via Princípio da Incerteza
O Princípio de Heisenberg diz que
O Princípio de Heisenberg diz que
Para a gaussiana mínima (que é nosso caso) a igualdade vale. Então
Isso mostra que, se
aumenta,
\emph{aumenta}.
Resposta
(a)
diminui quando
cresce.
(b) aumenta quando
cresce.
(b)