Uma partícula é descrita por uma função de onda psi(x)= A e^-alpha x2, onde A e alpha são constantes reais positivas. Se o valor de alpha aumenta, qual é o efeito que isso tem sobre (a) a incerteza da partícula na posição e (b) a incerteza da partícula no momento linear? Explique suas respostas.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a função de onda é
psi(x)=A,e^-alpha x^2
com e . O lance aqui é Mecânica Quântica básica: identificar como a “largura” dessa gaussiana em (que é a incerteza ) e a “largura” em (a incerteza ) mudam quando cresce. Pra isso a gente vai normalizar , calcular e usar o Princípio da Incerteza para achar .

Passo 2

Normalizando e achando integral-infty^infty|psi|^2,dx =A^2integral-infty^inftye^-2alpha x^2dx =A^2raizpi2alpha=1 ;Longrightarrow; A=l(tfrac2alphapir)^1/4
  1. Normalização: lang<= x^2rang<= =A^2;tfrac12raizpi,(2alpha)^-3/2 =14alpha
  2. Cálculo de De e :
    • Simetria da gaussiana dá .
    • Usa a fórmula

      com . Resultado:
  3. Incerteza em :
Logo, quando aumenta, \emph{diminui}.

Passo 3

Achando De=;hbar2 via Princípio da Incerteza
O Princípio de Heisenberg diz que
De
Para a gaussiana mínima (que é nosso caso) a igualdade vale. Então
Isso mostra que, se aumenta, \emph{aumenta}.

Resposta

(a) diminui quando cresce.
(b) aumenta quando cresce.

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