Se 3 bolas são selecionadas aleatoriamente de uma urna contendo 6 bolas brancas e 5 bolas pretas, calcule a probabilidade de que uma bola seja branca e as outras duas sejam pretas. Mostre que se considerarmos a seleção das bolas de forma ordenada a probabilidade será a mesma que no caso em que não consideramos ordem na seleção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Temos uma urna com 6 bolas brancas e 5 bolas pretas. A gente tira 3 bolas sem repor. Qual a probabilidade de sair exatamente 1 branca e 2 pretas? Mostre que se a gente considerar ordem de retirada dá o mesmo resultado que não considerar ordem.”
Conteúdo envolvido: probabilidade clássica, combinação, permutação (quando consideramos ordem). A gente vai precisar lembrar das fórmulas de combinação
C(n,k) ;=;n!k!,(n-k)!
e da ideia de que probabilidade é número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.

Passo 2

Resolvendo sem considerar ordem:
  1. Total de jeitos de escolher 3 bolas entre 11 (6 + 5) sem importar a ordem é
Total = C(11,3) ;=;11!3!,8! ;=;165
  1. Casos favoráveis (1 branca e 2 pretas): escolho 1 das 6 brancas e 2 das 5 pretas:
Favoráveis = C(6,1)times C(5,2) =6times5!2!,3! =6times10 =60 á
  1. Logo a probabilidade é
P = FavoráveisTotal = 60165 = 1233 = 411 á

Passo 3

Agora considerando ordem de retirada (permutação sem reposição):
  1. Total de sequências de 3 bolas distintas entre 11 é
11times10times9 = 990
  1. Favoráveis: a gente quer exatamente 1 branca e 2 pretas em qualquer posição.
    • Escolho em qual das 3 retiradas sai a branca: 3 escolhas.
    • Escolho qual branca: 6 escolhas.
    • Nas outras duas posições, escolho duas pretas sem repor: Favoráveis = 3 times 6 times 5 times 4 = 360 .
      Assim
P = 360990 = 3699 = 1233 = 411 á
  1. Então

Resposta

A probabilidade de sair exatamente 1 bola branca e 2 pretas é . Nos dois jeitos de contar (com ou sem ordem) o resultado cai em .

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