Se 3 bolas são selecionadas aleatoriamente de uma urna contendo 6 bolas brancas e 5 bolas pretas, calcule a probabilidade de que uma bola seja branca e as outras duas sejam pretas. Mostre que se considerarmos a seleção das bolas de forma ordenada a probabilidade será a mesma que no caso em que não consideramos ordem na seleção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Temos uma urna com 6 bolas brancas e 5 bolas pretas. A gente tira 3 bolas sem repor. Qual a probabilidade de sair exatamente 1 branca e 2 pretas? Mostre que se a gente considerar ordem de retirada dá o mesmo resultado que não considerar ordem.”
Conteúdo envolvido: probabilidade clássica, combinação, permutação (quando consideramos ordem). A gente vai precisar lembrar das fórmulas de combinação
Conteúdo envolvido: probabilidade clássica, combinação, permutação (quando consideramos ordem). A gente vai precisar lembrar das fórmulas de combinação
e da ideia de que probabilidade é número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.
Passo 2
Resolvendo sem considerar ordem:
- Total de jeitos de escolher 3 bolas entre 11 (6 + 5) sem importar a ordem é
- Casos favoráveis (1 branca e 2 pretas): escolho 1 das 6 brancas e 2 das 5 pretas:
- Logo a probabilidade é
Passo 3
Agora considerando ordem de retirada (permutação sem reposição):
- Total de sequências de 3 bolas distintas entre 11 é
- Favoráveis: a gente quer exatamente 1 branca e 2 pretas em qualquer posição.
- Escolho em qual das 3 retiradas sai a branca: 3 escolhas.
- Escolho qual branca: 6 escolhas.
- Nas outras duas posições, escolho duas pretas sem repor:
.
Assim
- Então
Resposta
A probabilidade de sair exatamente 1 bola branca e 2 pretas é
. Nos dois jeitos de contar (com ou sem ordem) o resultado cai em
.