Sejam P(A)=0,5 e P(B)=0,7. Com base nas informações, responda:
Qual o valor mínimo de P(A cap B)?

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos dois eventos A e B com
e . A questão quer saber o valor mínimo que a probabilidade da interseção desses dois eventos, , pode assumir.
Conteúdo: teoria básica de probabilidade, mais especificamente o princípio da inclusão-exclusão e o fato de que qualquer probabilidade de união não passa de 1. Vamos usar isso pra encontrar o valor mínimo de .

Passo 2

Primeiro, lembra do princípio da inclusão-exclusão para dois eventos:
P(Acup B) ;=; P(A) + P(B) ;-; P(Acap B)
Isso é só uma forma de não contar duas vezes quem aparece em A e B ao mesmo tempo.

Passo 3

A gente sabe também que a probabilidade de qualquer evento não pode passar de 1, logo
P(Acup B);<=;1
Substituindo a fórmula da união, dá
P(A) + P(B) - P(Acap B) ;<=;1

Passo 4

Isolando -P(Acap B);<=;1 - l[P(A)+P(B)r] Longrightarrow P(Acap B);>=;P(A)+P(B)-1 , temos
Isso mostra o limite inferior: a interseção não pode ser menor que .

Passo 5

Agora é só botar os números que a gente sabe:
P(A)+P(B)-1 = 0,5 + 0,7 - 1 = 0,2
Como o valor não pode ficar abaixo de zero (probabilidade mínima é 0), e 0,2 já é maior que 0, esse é o limite mínimo.

Resposta

O valor mínimo de é 0,2.

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