Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote Xi=0 se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e Xi=1 se for preta. Considere a amostra aleatoria X1, X2, ldots, X9.
Qual e a distribuição da soma destas variáveis?

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: a gente tira 9 vezes, com reposição, de uma urna que tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Definimos uma variável aleatória que vale 0 se saiu branca e 1 se saiu preta, para . A matéria aqui é Teoria de Probabilidades, mais especificamente variáveis aleatórias discretas, Bernoulli e Binomial. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender que cada é uma Bernoulli (porque só tem dois resultados: 0 ou 1).
  2. Saber que a soma de várias Bernoulli independentes segue uma Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada sorteio isolado. Como a urna tem 1 bola branca e 2 pretas, a probabilidade de sair preta é
P(Xi=1)=23
e de sair branca é
P(Xi=0)=13
Isso é exatamente a definição de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro Xisim Bernoulli!l(tfrac23r), . Então podemos dizer:
e, por causa da reposição, esses ensaios são independentes.

Passo 3

Agora, teoria importante: se você soma S = X1 + X2 + cdots + X9 variáveis de Bernoulli independentes com o mesmo Ssim Binomial!l(n=9, p=tfrac23r) , essa soma segue uma Distribuição Binomial com parâmetros P(S=k) =binom9kl(tfrac23r)^kl(tfrac13r)^9-k, k=0,1,dots,9 (número de ensaios) e (probabilidade de “sucesso” em cada ensaio). No nosso caso, “sucesso” é tirar bola preta (valor 1).
Como temos ensaios e , a soma
segue
A fórmula da função de massa de probabilidade é

Resposta

Exercícios relacionados