Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote
se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e
se for preta. Considere a amostra aleatoria
.
Qual e a distribuição da soma destas variáveis?
Qual e a distribuição da soma destas variáveis?
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: a gente tira 9 vezes, com reposição, de uma urna que tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Definimos uma variável aleatória
que vale 0 se saiu branca e 1 se saiu preta, para
. A matéria aqui é Teoria de Probabilidades, mais especificamente variáveis aleatórias discretas, Bernoulli e Binomial. Para resolver, a gente vai precisar:
- Entender que cada
é uma Bernoulli (porque só tem dois resultados: 0 ou 1). - Saber que a soma de várias Bernoulli independentes segue uma Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada sorteio isolado. Como a urna tem 1 bola branca e 2 pretas, a probabilidade de sair preta é
e de sair branca é
Isso é exatamente a definição de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro
. Então podemos dizer:
e, por causa da reposição, esses ensaios são independentes.
Passo 3
Agora, teoria importante: se você soma
variáveis de Bernoulli independentes com o mesmo
, essa soma segue uma Distribuição Binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de “sucesso” em cada ensaio). No nosso caso, “sucesso” é tirar bola preta (valor 1).
Como temos
ensaios e
, a soma
segue
A fórmula da função de massa de probabilidade é