Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote Xi=0 se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e Xi=1 se for preta. Considere a amostra aleatoria X1, X2, ldots, X9.
Encontre o valor esperado da media amostral.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos usar.
– Enunciado: A gente tem uma urna com 1 bola branca e 2 pretas, e faz 9 sorteios com reposição. Definimos
Xi = 0, & se sair branca, 1, & se sair preta
Queremos o valor esperado da média amostral
bar X = 19sumi=1^9 Xi
Conteúdo: teoria de valor esperado (esperança) e a propriedade de linearidade da esperança. A gente vai precisar saber como se calcula e usar .

Passo 2

Primeiro, calcula a esperança de cada E[Xi] = 0cdot P(Xi=0) + 1cdot P(Xi=1) . Como E[Xi] = 0cdot tfrac13 + 1cdot tfrac23 = tfrac23 só pode valer 0 (se sai branca) ou 1 (se sai preta), usamos a definição:
Sabendo que e , temos

Passo 3

Agora aplicamos a linearidade da esperança à média amostral:
E[bar X] ;=; E!l(19sumi=1^9 Xir) ;=; 19sumi=1^9 E[Xi]
Como cada E[bar X] = 19times 9 times tfrac23 = tfrac23 e são 9 termos idênticos, fica

Resposta

El(bar Xr) = 23

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