Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote Xi=0 se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e Xi=1 se for preta. Considere a amostra aleatoria X1, X2, ldots, X9.
Qual e a distribuição conjunta destas nove variáveis aleatórias?

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente tira bolas de uma urna com reposição, onde tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Cada sorteio a gente define
  • se sair branca
  • se sair preta
    e faz isso 9 vezes: .
    Conteúdo: probabilidade discreta e variáveis aleatórias (Bernoulli e independência). Vamos usar a noção de distribuição de Bernoulli e o fato de que, com reposição, os sorteios são independentes.

Passo 2

Primeiro, escolhe uma variável P(Xi=x) = 23, & x=1,[6pt] 13, & x=0 qualquer.
  • A chance de sair preta é , porque tem 2 pretas em 3 bolas.
  • A chance de sair branca é .
Isso significa que segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro :

Passo 3

Agora, como é com reposição, cada sorteio não influencia o próximo. Logo, P(X1=x1,dots,X9=x9) =prodi=1^9P(Xi=xi) são independentes. Para variáveis independentes, a distribuição conjunta é o produto das distribuições marginais:
P(X1=x1,dots,X9=x9) =prodi=1^9 l(tfrac23r)^xi l(tfrac13r)^1-xi =l(tfrac23r)^sumi=1^9 xi l(tfrac13r)^9-sumi=1^9 xi
Substituindo a fórmula da Bernoulli, a gente junta tudo e obtém:

Resposta

P(X1=x1,dots,X9=x9) =l(tfrac23r)^sumi=1^9 xi l(tfrac13r)^9-sumi=1^9 xi,
que é justamente o produto das Bernoullis independentes .

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