Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote
se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e
se for preta. Considere a amostra aleatoria
.
Qual e a distribuição conjunta destas nove variáveis aleatórias?
Qual e a distribuição conjunta destas nove variáveis aleatórias?
Passo 1
Beleza, o problema diz que a gente tira bolas de uma urna com reposição, onde tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Cada sorteio a gente define
-
se sair branca -
se sair preta
e faz isso 9 vezes:.
Conteúdo: probabilidade discreta e variáveis aleatórias (Bernoulli e independência). Vamos usar a noção de distribuição de Bernoulli e o fato de que, com reposição, os sorteios são independentes.
Passo 2
Primeiro, escolhe uma variável
qualquer.
- A chance de sair preta é
, porque tem 2 pretas em 3 bolas. - A chance de sair branca é
.
Isso significa que
segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro
:
Passo 3
Agora, como é com reposição, cada sorteio não influencia o próximo. Logo,
são independentes. Para variáveis independentes, a distribuição conjunta é o produto das distribuições marginais:
Substituindo a fórmula da Bernoulli, a gente junta tudo e obtém:
Resposta
que é justamente o produto das Bernoullis independentes
.