Verifique que se X1, X2, ldots, Xn forem v.a.s independentes, cada uma tendo distribuição exponencial com parâmetro alphai, para i=1,2 ldots, n, e se K=min (X1, X2, ldots, Xn) então K terá distribuição exponencial com parâmetro sumi=1^n alphai.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar que, se eu tenho K = min(X1,dots,Xn), variáveis independentes , cada uma seguindo uma exponencial com parâmetro , então a menor delas,
também é uma exponencial, só que com parâmetro .
Conteúdo: teoria de distribuições contínuas, especificamente a exponencial, e uso de independência para calcular probabilidades de eventos conjuntos. Vamos usar a função sobrevivência (ou seja, ) e propriedades da exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembra que para qualquer variável contínua FY(t) = P(Y <= t) e SY(t)=1-FY(t)=P(Y>t) ,
SXi(t)=P(Xi>t)=e^-alphai t,
é a sobrevivência.
No caso da exponencial , a sobrevivência é
para .

Passo 3

Agora, queremos P(K>t) = P(X1>t,dots,Xn>t) = prodi=1^n P(Xi>t) = prodi=1^n e^-alphai t . Mas significa que todos os são maiores que .
Como as são independentes:

Passo 4

A conta do produto de exponenciais dá:
prodi=1^n e^-alphai t = e^-l(sumi=1^nalphair),t
Então
SK(t)=e^-l(sumi=1^nalphair),t

Passo 5

Para saber se isso é exponencial, comparo com a forma padrão: se SZ(t)=e^-lambda t , então
Ksim Expl(sumi=1^nalphair)
Aqui nosso bate direitinho com . Logo

Resposta

tem distribuição exponencial com parâmetro .

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