Seja uma amostra aleatoria de uma população Exponencial( ).
Especificamente, poderia representar o tempo ate a falha (medida em anos) para equipamentos idênticos colocados em teste.
Encontre a distribuição conjunta das variáveis nesta amostra aleatória.
Passo 1
E aí, tudo bem? Temos uma amostra aleatória vinda de uma distribuição Exponencial com parâmetro de escala . Cada é o tempo até a falha de um equipamento, e queremos achar a distribuição conjunta dessa amostra. O que vamos usar:
A definição da função densidade da Exponencial().
A propriedade de amostra aleatória independente (onde o pdf conjunto é o produto dos pdfs individuais).
Passo 2
Antes de tudo, vamos lembrar qual é a densidade de probabilidade de uma variável que segue Exponencial(). Por definição:
Isso significa que, para cada equipamento, a chance de falha no instante é dada por .
Passo 3
Agora, como fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) =prodi=1^n fX(xi) =prodi=1^nl(tfrac1betae^-xi/betar) formam uma amostra aleatória independente, a densidade conjunta é simplesmente o produto das densidades individuais. Ou seja:
Passo 4
Vamos simplificar esse produto:
O fator fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) = l(tfrac1betar)^!n exp!l(-tfracx1 + x2 + cdots + xnbetar), xi >= 0;forall i se repete vezes, virando .
O expoente soma-se: .
Juntando tudo:
Resposta
A distribuição conjunta de boxed fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) = l(tfrac1betar)^!n exp!l(-tfrac1betasumi=1^n xir), xi >= 0 é