Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatoria de uma população Exponencial( beta ).
Especificamente, Xi poderia representar o tempo ate a falha (medida em anos) para n equipamentos idênticos colocados em teste.
Encontre a distribuição conjunta das variáveis nesta amostra aleatória.

Passo 1

E aí, tudo bem? Temos uma amostra aleatória vinda de uma distribuição Exponencial com parâmetro de escala . Cada é o tempo até a falha de um equipamento, e queremos achar a distribuição conjunta dessa amostra. O que vamos usar:
  • A definição da função densidade da Exponencial( ).
  • A propriedade de amostra aleatória independente (onde o pdf conjunto é o produto dos pdfs individuais).

Passo 2

Antes de tudo, vamos lembrar qual é a densidade de probabilidade de uma variável fX(x) ;=; dfrac1beta,e^-x/beta, & x >= 0,[6pt] 0, & x < 0 que segue Exponencial( ). Por definição:
Isso significa que, para cada equipamento, a chance de falha no instante é dada por .

Passo 3

Agora, como fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) =prodi=1^n fX(xi) =prodi=1^nl(tfrac1betae^-xi/betar) formam uma amostra aleatória independente, a densidade conjunta é simplesmente o produto das densidades individuais. Ou seja:

Passo 4

Vamos simplificar esse produto:
  1. O fator fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) = l(tfrac1betar)^!n exp!l(-tfracx1 + x2 + cdots + xnbetar), xi >= 0;forall i se repete vezes, virando .
  2. O expoente soma-se: .
    Juntando tudo:

Resposta

A distribuição conjunta de boxed fX1,dots,Xn(x1,dots,xn) = l(tfrac1betar)^!n exp!l(-tfrac1betasumi=1^n xir), xi >= 0 é

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