Determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não for, identifique pelo menos um dos oito axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau
, cujos gráficos passam pela origem.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto descrito, com as operações usuais (adição de funções e multiplicação por escalar), é um espaço vetorial. Informações dadas:
- O conjunto é formado por todas as funções da forma
com . - Os gráficos dessas funções passam pela origem (isto está coerente com
). - As operações são as usuais entre funções:
e .
O que se pede: determinar se esse par (conjunto, operações usuais) é um espaço vetorial; se não for, indicar pelo menos um axioma de espaço vetorial que falha.
Passo 2
Rápida revisão do que é preciso para ser um espaço vetorial (explicação didática):
- Um espaço vetorial sobre
(por exemplo) é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação por escalares) que satisfazem um conjunto de axiomas. Entre esses axiomas, os mais relevantes para este problema são: - Existência do vetor nulo (identidade aditiva): existe um elemento
tal que para todo do conjunto. Em termos de funções, isso é a função zero para todo . - Fechamento sob adição: se
e pertencem ao conjunto então também pertence ao conjunto. - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
pertence ao conjunto e é um escalar, então também pertence ao conjunto. - Existência de inversos aditivos: para cada
existe tal que .
- Existência do vetor nulo (identidade aditiva): existe um elemento
- Se qualquer um desses (ou outro axiom) falhar, o conjunto com as operações usuais não é um espaço vetorial.
Vou testar esses axiomas concretamente para o conjunto dado.
Passo 3
Verificação da existência do vetor nulo (identidade aditiva).
- A função zero é
para todo . Essa função corresponde a na forma . - No conjunto dado temos a condição
. Logo a função zero NÃO pertence ao conjunto. - Conclusão: o axioma da existência do vetor nulo falha. Como exemplo concreto, não existe
no conjunto tal que seja a identidade aditiva para todas as funções do conjunto.
Passo 4
Verificação do fechamento sob adição com um contraexemplo simples (muito útil na prova).
- Tome
. Aqui , logo pertence ao conjunto. - Tome
. Aqui , logo pertence ao conjunto. - A soma é
. - A função soma é a função zero
, que, como visto no Passo 3, não pertence ao conjunto porque corresponderia a . - Portanto o conjunto NÃO é fechado sob adição: existem
no conjunto cuja soma não está no conjunto. - Conclusão: o axioma de fechamento sob adição falha.
Passo 5
Verificação do fechamento sob multiplicação por escalar com um contraexemplo simples.
- Tome
(como antes, pertence ao conjunto). - Multiplique por
. Então para todo , ou seja, a função zero. - Novamente a função resultado é a função zero, que não pertence ao conjunto.
- Logo o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalares; o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar falha também.
Passo 6
Conclusão e comentário pedagógico.
- Já encontramos falhas essenciais: não existe o vetor nulo no conjunto e o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar. Esses são axiomas fundamentais de um espaço vetorial; portanto o conjunto dado, com as operações usuais, NÃO é um espaço vetorial.
- Observação útil para a prova: se a condição
for removida e permitirmos qualquer real, então o conjunto contém a função zero e é um subespaço (na verdade isomorfo a pela identificação ). A exclusão de é justamente o que estraga a estrutura vetorial.
Resposta
Não; o conjunto não é um espaço vetorial. Falha, por exemplo, o axioma da existência do vetor nulo (a função zero não pertence ao conjunto) — consequentemente também falham o fechamento sob adição e o fechamento sob multiplicação por escalar.