Determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não for, identifique pelo menos um dos oito axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau a x, a \neq 0, cujos gráficos passam pela origem.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto descrito, com as operações usuais (adição de funções e multiplicação por escalar), é um espaço vetorial. Informações dadas:
  • O conjunto é formado por todas as funções da forma f(x)=a x com a\neq 0.
  • Os gráficos dessas funções passam pela origem (isto está coerente com f(x)=ax).
  • As operações são as usuais entre funções: (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (\lambda f)(x)=\lambda f(x).
    O que se pede: determinar se esse par (conjunto, operações usuais) é um espaço vetorial; se não for, indicar pelo menos um axioma de espaço vetorial que falha.

Passo 2

Rápida revisão do que é preciso para ser um espaço vetorial (explicação didática):
  • Um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (por exemplo) é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação por escalares) que satisfazem um conjunto de axiomas. Entre esses axiomas, os mais relevantes para este problema são:
    • Existência do vetor nulo (identidade aditiva): existe um elemento 0 tal que v+0=v para todo v do conjunto. Em termos de funções, isso é a função zero 0(x)=0 para todo x.
    • Fechamento sob adição: se f e g pertencem ao conjunto então f+g também pertence ao conjunto.
    • Fechamento sob multiplicação por escalar: se f pertence ao conjunto e \lambda é um escalar, então \lambda f também pertence ao conjunto.
    • Existência de inversos aditivos: para cada v existe -v tal que v+(-v)=0.
  • Se qualquer um desses (ou outro axiom) falhar, o conjunto com as operações usuais não é um espaço vetorial.
    Vou testar esses axiomas concretamente para o conjunto dado.

Passo 3

Verificação da existência do vetor nulo (identidade aditiva).
  • A função zero é 0(x)=0 para todo x. Essa função corresponde a a=0 na forma f(x)=ax.
  • No conjunto dado temos a condição a\neq 0. Logo a função zero 0(x) NÃO pertence ao conjunto.
  • Conclusão: o axioma da existência do vetor nulo falha. Como exemplo concreto, não existe f no conjunto tal que f seja a identidade aditiva para todas as funções do conjunto.

Passo 4

Verificação do fechamento sob adição com um contraexemplo simples (muito útil na prova).
  • Tome f(x)=1\cdot x = x. Aqui a=1\neq 0, logo f pertence ao conjunto.
  • Tome g(x)=-1\cdot x = -x. Aqui a=-1\neq 0, logo g pertence ao conjunto.
  • A soma é (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x+(-x)=0.
  • A função soma é a função zero 0(x), que, como visto no Passo 3, não pertence ao conjunto porque corresponderia a a=0.
  • Portanto o conjunto NÃO é fechado sob adição: existem f,g no conjunto cuja soma não está no conjunto.
  • Conclusão: o axioma de fechamento sob adição falha.

Passo 5

Verificação do fechamento sob multiplicação por escalar com um contraexemplo simples.
  • Tome f(x)=x (como antes, pertence ao conjunto).
  • Multiplique por \lambda=0. Então (0\cdot f)(x)=0\cdot f(x)=0 para todo x, ou seja, a função zero.
  • Novamente a função resultado é a função zero, que não pertence ao conjunto.
  • Logo o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalares; o axioma de fechamento sob multiplicação por escalar falha também.

Passo 6

Conclusão e comentário pedagógico.
  • Já encontramos falhas essenciais: não existe o vetor nulo no conjunto e o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar. Esses são axiomas fundamentais de um espaço vetorial; portanto o conjunto dado, com as operações usuais, NÃO é um espaço vetorial.
  • Observação útil para a prova: se a condição a\neq 0 for removida e permitirmos a qualquer real, então o conjunto \{f(x)=ax \mid a\in\mathbb{R}\} contém a função zero e é um subespaço (na verdade isomorfo a \mathbb{R} pela identificação a\mapsto ax). A exclusão de a=0 é justamente o que estraga a estrutura vetorial.

Resposta

Não; o conjunto não é um espaço vetorial. Falha, por exemplo, o axioma da existência do vetor nulo (a função zero não pertence ao conjunto) — consequentemente também falham o fechamento sob adição e o fechamento sob multiplicação por escalar.

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