Se \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}, mostre que \oint \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{a}=0 para qualquer superfície fechada.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A} e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada, vale
\oint \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{a}=0.
Informações importantes fornecidas ou necessárias:
  • \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) é um campo vetorial suficientemente suave (ou seja, tem derivadas parciais contínuas até segunda ordem) na região considerada.
  • A integral \oint é sobre uma superfície fechada \partial V que limita um volume V.
    O objetivo é provar a afirmação para qualquer superfície fechada (ou seja, para qualquer volume V cujo contorno seja a superfície dada).

Passo 2

Vou lembrar duas coisas fundamentais que vou usar, explicando o significado de cada uma:
  • Teorema da divergência (de Gauss): para um campo vetorial \boldsymbol{F} suficientemente regular,
\oint_{\partial V}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{a}=\int_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{F}\,dV.
Isto significa que o fluxo total de \boldsymbol{F} através da superfície fechada \partial V é igual à integral volumétrica da divergência de \boldsymbol{F} sobre o volume V que ela encerra. Aqui d\boldsymbol{a} é o vetor de área da superfície apontando para fora.
  • Identidade vetorial que vamos demonstrar: \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0. Mostrar que essa divergência de um rotacional é sempre zero (sob hipóteses de regularidade de \boldsymbol{A}) é o passo chave.

Passo 3

Substituo \boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} na integral e aplico o teorema da divergência:
\oint_{\partial V}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{a}=\oint_{\partial V}(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot d\boldsymbol{a} =\int_{V}\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})\,dV.
Então basta mostrar que o integrando \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) é identicamente zero em V.

Passo 4

Vou provar \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0 expandindo em componentes (forma direta, sem símbolos avançados). Escrevendo as componentes do rotacional:
(\nabla\times\boldsymbol{A})_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},
(\nabla\times\boldsymbol{A})_y=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},
(\nabla\times\boldsymbol{A})_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.
A divergência do rotacional é a soma das derivadas parciais dessas componentes:
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right).
Agora distribuo as derivadas e reagrupo termos:
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) =\frac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}.
Observe que os termos aparecem em pares que são negativos um do outro, por exemplo \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y} e -\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}. Se as derivadas segundas são contínuas (hipótese de suavidade de \boldsymbol{A}), então as derivadas mistas comutam:
\frac{\partial^2 A_k}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 A_k}{\partial y\partial x},
para qualquer componente A_k. Assim cada par se cancela e a soma inteira vale zero. Portanto
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0.

Passo 5

Como alternativa compacta (opcional), existe uma prova em índice usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Escrevendo (\nabla\times\boldsymbol{A})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k, tem-se
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=\partial_i(\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k)=\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_j A_k.
Mas \varepsilon_{ijk} é antissimétrico em i\leftrightarrow j enquanto \partial_i\partial_j A_k é simétrico em i\leftrightarrow j (novamente pela comutação de derivadas parciais), logo a contração dá zero. Isso resume a mesma ideia anterior de forma mais compacta.

Passo 6

Voltando à integral: como \nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0 ponto a ponto no volume V, a integral volumétrica que apareceu no Passo 3 é a integral do zero sobre V, ou seja é nula. Portanto o fluxo de \boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} através de qualquer superfície fechada é zero. Esta conclusão exige apenas a hipótese padrão de que \boldsymbol{A} tem derivadas parciais contínuas suficientes no domínio considerado (para poder aplicar o teorema da divergência e trocar a ordem das derivadas).

Resposta

0

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