Se
, mostre que
para qualquer superfície fechada.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação
e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada, vale
Informações importantes fornecidas ou necessárias:
-
é um campo vetorial suficientemente suave (ou seja, tem derivadas parciais contínuas até segunda ordem) na região considerada. - A integral
é sobre uma superfície fechada que limita um volume .
O objetivo é provar a afirmação para qualquer superfície fechada (ou seja, para qualquer volumecujo contorno seja a superfície dada).
Passo 2
Vou lembrar duas coisas fundamentais que vou usar, explicando o significado de cada uma:
- Teorema da divergência (de Gauss): para um campo vetorial
suficientemente regular,
Isto significa que o fluxo total de
através da superfície fechada
é igual à integral volumétrica da divergência de
sobre o volume
que ela encerra. Aqui
é o vetor de área da superfície apontando para fora.
- Identidade vetorial que vamos demonstrar:
. Mostrar que essa divergência de um rotacional é sempre zero (sob hipóteses de regularidade de ) é o passo chave.
Passo 3
Substituo
na integral e aplico o teorema da divergência:
Então basta mostrar que o integrando
é identicamente zero em
.
Passo 4
Vou provar
expandindo em componentes (forma direta, sem símbolos avançados). Escrevendo as componentes do rotacional:
A divergência do rotacional é a soma das derivadas parciais dessas componentes:
Agora distribuo as derivadas e reagrupo termos:
Observe que os termos aparecem em pares que são negativos um do outro, por exemplo
e
. Se as derivadas segundas são contínuas (hipótese de suavidade de
), então as derivadas mistas comutam:
para qualquer componente
. Assim cada par se cancela e a soma inteira vale zero. Portanto
Passo 5
Como alternativa compacta (opcional), existe uma prova em índice usando o símbolo de Levi-Civita
. Escrevendo
, tem-se
Mas
é antissimétrico em
enquanto
é simétrico em
(novamente pela comutação de derivadas parciais), logo a contração dá zero. Isso resume a mesma ideia anterior de forma mais compacta.
Passo 6
Voltando à integral: como
ponto a ponto no volume
, a integral volumétrica que apareceu no Passo 3 é a integral do zero sobre
, ou seja é nula. Portanto o fluxo de
através de qualquer superfície fechada é zero. Esta conclusão exige apenas a hipótese padrão de que
tem derivadas parciais contínuas suficientes no domínio considerado (para poder aplicar o teorema da divergência e trocar a ordem das derivadas).
Resposta
0