Mostre que
, onde a linha significa derivada com relação a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede para mostrar que
. - A integral deve ser entendida como a ação da distribuição
sobre uma função teste . - Pressuposição necessária:
é uma função suficientemente suave (por exemplo com suporte compacto, ou na classe de Schwartz). Vou assumir isso explicitamente para que todas as operações abaixo façam sentido.
Não resolvo nada ainda; só deixei claro o que se quer e as hipóteses sobre
.
Passo 2
Lembrando a propriedade fundamental da delta de Dirac:
- A distribuição delta
é definida pela sua ação em uma função teste por
Aqui
é a notação para o pareamento distribuição × função teste, e a integral é ao longo de toda a reta real.
Expliquei: isso significa que, quando a delta “age” sobre
, o resultado é simplesmente o valor de
em
.
Passo 3
Definição da derivada de uma distribuição (a peça-chave):
- Se
é uma distribuição e é uma função teste, a derivada da distribuição é definida por
- Interpretação: derivar uma distribuição corresponde a transferir a derivada para a função teste com um sinal negativo (isso vem de integrar por partes e desprezar termos de fronteira porque as funções teste são compactamente suportadas ou decaem rápido).
Expliquei o significado de cada símbolo para ficar claro:
é a distribuição (aqui vai ser
),
é a função teste (aqui será
), e
é a derivada usual da função teste.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso
:
- Use a definição com
e :
- Pela propriedade da delta que listei no Passo 2,
. Portanto
- Traduzindo de volta para a notação de integral (compreendida como pareamento distribuição × função teste):
Pronto: esta é a demonstração curta e rigorosa usando a definição da derivada de uma distribuição.
Passo 5
Comentário didático sobre por que isso é natural (uma intuição via integração por partes e aproximações):
- Se alguém preferir pensar em termos de integrais clássicas, uma maneira intuitiva é aproximar
por uma sequência de funções suficientemente concentradas em (mollificadores), com e como distribuições. - Para cada
(funcção suave com decaimento), vale integração por partes:
- Como
tem massa concentrada e tende a zero nas fronteiras ao sentirmos a integral sobre toda a reta, o termo de fronteira tende a zero quando . Assim, passando ao limite,
- Esse raciocínio recupera a mesma fórmula e dá a intuição de que a derivada da delta “transfere” a derivada para
com sinal negativo.
Passo 6
Um exemplo concreto rápido para ganhar confiança:
- Tome
. Então e . - Pela fórmula,
. - Isso bate com a intuição: aproximadores
têm , e como é simétrico em torno de (no exemplo comum) a integral de dá zero no limite.
Passo 7
Resumo final e incentivo:
- A identidade vem diretamente da definição da derivada de uma distribuição aplicada à delta, ou alternativamente pode ser vista por aproximação e integração por partes.
- Não se assuste com distribuições: a regra geral é sempre a mesma: ao derivar uma distribuição, transfere-se a derivada para a função teste com sinal negativo. Isso é um truque poderoso que aparece muito em física e PDEs.