Mostre que \int \delta^{\prime}(x) f(x) d x=-f^{\prime}(0), onde a linha significa derivada com relação a x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede para mostrar que \displaystyle \int \delta^{\prime}(x)\,f(x)\,dx = -f^{\prime}(0).
  • A integral deve ser entendida como a ação da distribuição \delta^{\prime} sobre uma função teste f.
  • Pressuposição necessária: f é uma função suficientemente suave (por exemplo f\in C^\infty com suporte compacto, ou f na classe de Schwartz). Vou assumir isso explicitamente para que todas as operações abaixo façam sentido.
Não resolvo nada ainda; só deixei claro o que se quer e as hipóteses sobre f.

Passo 2

Lembrando a propriedade fundamental da delta de Dirac:
  • A distribuição delta \delta é definida pela sua ação em uma função teste f por
\langle \delta, f\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,f(x)\,dx = f(0).
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é a notação para o pareamento distribuição × função teste, e a integral é ao longo de toda a reta real.
Expliquei: isso significa que, quando a delta “age” sobre f, o resultado é simplesmente o valor de f em 0.

Passo 3

Definição da derivada de uma distribuição (a peça-chave):
  • Se T é uma distribuição e \varphi é uma função teste, a derivada T' da distribuição T é definida por
\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle.
  • Interpretação: derivar uma distribuição corresponde a transferir a derivada para a função teste com um sinal negativo (isso vem de integrar por partes e desprezar termos de fronteira porque as funções teste são compactamente suportadas ou decaem rápido).
Expliquei o significado de cada símbolo para ficar claro: T é a distribuição (aqui vai ser \delta), \varphi é a função teste (aqui será f), e \varphi' é a derivada usual da função teste.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso T=\delta:
  • Use a definição com T=\delta e \varphi=f:
\langle \delta', f\rangle = -\langle \delta, f'\rangle.
  • Pela propriedade da delta que listei no Passo 2, \langle \delta, f'\rangle = f'(0). Portanto
\langle \delta', f\rangle = -f'(0).
  • Traduzindo de volta para a notação de integral (compreendida como pareamento distribuição × função teste):
\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(x)\,f(x)\,dx = -f^{\prime}(0).
Pronto: esta é a demonstração curta e rigorosa usando a definição da derivada de uma distribuição.

Passo 5

Comentário didático sobre por que isso é natural (uma intuição via integração por partes e aproximações):
  • Se alguém preferir pensar em termos de integrais clássicas, uma maneira intuitiva é aproximar \delta por uma sequência de funções \delta_n suficientemente concentradas em 0 (mollificadores), com \int \delta_n(x)\,dx = 1 e \delta_n\to\delta como distribuições.
  • Para cada \delta_n (funcção suave com decaimento), vale integração por partes:
\int_{-\infty}^{\infty} \delta_n'(x)\,f(x)\,dx = \Big[\delta_n(x)f(x)\Big]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,f'(x)\,dx.
  • Como \delta_n tem massa concentrada e tende a zero nas fronteiras ao sentirmos a integral sobre toda a reta, o termo de fronteira tende a zero quando n\to\infty. Assim, passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}\int \delta_n'(x)\,f(x)\,dx = -\lim_{n\to\infty}\int \delta_n(x)\,f'(x)\,dx = -f'(0).
  • Esse raciocínio recupera a mesma fórmula e dá a intuição de que a derivada da delta “transfere” a derivada para f com sinal negativo.

Passo 6

Um exemplo concreto rápido para ganhar confiança:
  • Tome f(x)=x^2. Então f'(x)=2x e f'(0)=0.
  • Pela fórmula, \displaystyle \int \delta'(x)\,x^2\,dx = -f'(0) = 0.
  • Isso bate com a intuição: aproximadores \delta_n têm \int \delta_n'(x)\,x^2\,dx = -\int \delta_n(x)\,2x\,dx, e como \delta_n é simétrico em torno de 0 (no exemplo comum) a integral de 2x dá zero no limite.

Passo 7

Resumo final e incentivo:
  • A identidade vem diretamente da definição da derivada de uma distribuição aplicada à delta, ou alternativamente pode ser vista por aproximação e integração por partes.
  • Não se assuste com distribuições: a regra geral é sempre a mesma: ao derivar uma distribuição, transfere-se a derivada para a função teste com sinal negativo. Isso é um truque poderoso que aparece muito em física e PDEs.

Resposta

-f^{\prime}(0)

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