Uma bolha de ar de
está no fundo de um lago, a
de profundidade. Ela se solta e segue em direçalo à superfície do lago, onde a pressio é de 1,0atm. A temperatura da bolha năo varia com a profundidade. Suponha que o ar possa ser tratado como um gás ideal diatômico.
a) Encontre o volume da bolha no momento em que alcança a superficie, Considere o valor de
para a densidade da água e
para a aceleração gravitacional local (15,0 pontos).
b) Encontre a variaçio de entropia do ar dentro da bolha após o seu estado evoluir segundo o processo termodinâmico descrito no enunciado (10,0 pontos).
a) Encontre o volume da bolha no momento em que alcança a superficie, Considere o valor de
b) Encontre a variaçio de entropia do ar dentro da bolha após o seu estado evoluir segundo o processo termodinâmico descrito no enunciado (10,0 pontos).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar literalmente o que temos e o que é pedido):
-
Dados fornecidos:
- Volume inicial da bolha no fundo:
. - Profundidade do fundo:
. - Pressão na superfície:
. - A temperatura da bolha não varia com a profundidade (processo isotérmico).
- Densidade da água:
. - Aceleração da gravidade:
. - Tratar o ar como gás ideal diatômico (essa informação pode ser útil para propriedades termodinâmicas, embora para o cálculo da entropia em processo isotérmico apenas a constante dos gases universais entre).
- Volume inicial da bolha no fundo:
-
O que é pedido:
a) Encontrar o volume da bolha no momento em que alcança a superfície do lago.
b) Encontrar a variação de entropia do ar dentro da bolha durante esse processo.
Observações imediatas (apenas organização do que foi pedido, sem resolver ainda):
- Precisaremos relacionar pressões entre fundo e superfície (pressão hidrostática).
- O processo é isotérmico, então usaremos a relação
constante para o gás ideal e a fórmula da variação de entropia para processo isotérmico.
Passo 2
Converter unidades e calcular a pressão no fundo do lago (pressão absoluta onde a bolha estava).
A primeira coisa é expressar todos os dados em unidades SI consistentes:
- Converter
para metros cúbicos: - Converter a densidade da água para
. Como foi dada , lembrando que , - Pressão na superfície: normalmente
será usado como (valor aproximado adotado nesse exercício). Então:
Agora a pressão absoluta no fundo (onde a bolha estava) é a pressão da superfície acrescida da coluna de água:
Substituindo os valores:
Logo
Vou comentar só para ficar claro: aqui usei a fórmula clássica da pressão hidrostática
que dá a pressão adicional causada pela coluna de fluido de altura
.
Passo 3
Calcular o volume final na superfície usando a condição isotérmica do gás ideal.
Porque a temperatura da bolha não varia com a profundidade, o processo é isotérmico. Para um gás ideal em um processo isotérmico e reversível temos que
. Assim, entre o estado inicial (fundo) e o estado final (superfície):
Isolando
,
Substituindo
e
:
Portanto
Se desejar em unidades SI:
Explicação didática curta: quando a pressão diminui à medida que a bolha sobe, o mesmo número de mols de ar ocupa mais volume porque a temperatura é constante; a relação
constante dá esse fator de 1,5.
Passo 4
Preparar a fórmula e a ideia para calcular a variação de entropia do ar na bolha (parte b).
Teoria útil e explicada de forma passo a passo:
-
Para um gás ideal, a variação de entropia diferencial pode ser escrita comoAqui:
-
é entropia total do gás; -
é o número de mols do gás na bolha; -
é a capacidade molar a volume constante; -
é a constante dos gases ideais ( ); -
é a temperatura absoluta; -
é o volume.
-
-
No processo do enunciado a temperatura é constante (
), portanto o primeiro termo some e resta apenas Integrando entree : Esta é a fórmula padrão: variação de entropia de um gás ideal numa transformação isotérmica (reversível). -
Observação prática: para calcular
numericamente precisa-se de (número de mols). Podemos relacionar com , e pela equação de estado . Assim: Substituindo em: Essa forma é útil porqueé um produto que pode ser calculado em joules (Pa·m^3 = J) com os dados que temos; entretanto ainda aparece no denominador. Como o enunciado não forneceu numericamente a temperatura absoluta, a expressão final ficará em função de ou em função de . Também é útil dar a variação de entropia por mol:
Passo 5
Calcular os valores numéricos conhecidos e simplificar a expressão para
usando os números que já obtivemos.
Primeiro calculei a razão de volumes (já feita no Passo 3):
O logaritmo natural:
Calcular
em unidades SI (joules):
- Lembrete:
e .
Isso é conveniente: o produto
dá
.
Agora inserir na expressão de
:
Multiplicando:
onde
é a temperatura absoluta (em kelvin) da bolha — constante durante o processo.
Também é útil apresentar a variação de entropia por mol, que não depende de
:
Comentário motivacional: se o enunciado não fornecer
, a forma
é a resposta correta e numérica até onde os dados permitem. Se for dado um valor de
(por exemplo
ou
), basta dividir para obter o valor numérico total da variação de entropia do ar na bolha.
Passo 6
Dar exemplos numéricos (opcionais) para fixar a ideia — e para você ter noção da ordem de grandeza.
- Se fosse
(temperatura ambiente ), então - Se fosse
, então
Esses valores mostram que a variação total de entropia do conteúdo da bolha é pequena (milésimos de joule por kelvin), porque a bolha contém muito pouco ar (poucos mols).