Uma bolha de ar de 20 \mathrm{~cm}^{3} está no fundo de um lago, a 5,0 \mathrm{~m} de profundidade. Ela se solta e segue em direçalo à superfície do lago, onde a pressio é de 1,0atm. A temperatura da bolha năo varia com a profundidade. Suponha que o ar possa ser tratado como um gás ideal diatômico.
a) Encontre o volume da bolha no momento em que alcança a superficie, Considere o valor de \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathcal{O}}=1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} para a densidade da água e g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} para a aceleração gravitacional local (15,0 pontos).
b) Encontre a variaçio de entropia do ar dentro da bolha após o seu estado evoluir segundo o processo termodinâmico descrito no enunciado (10,0 pontos).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar literalmente o que temos e o que é pedido):
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial da bolha no fundo: V_0 = 20\\ \mathrm{cm}^3.
    • Profundidade do fundo: h = 5{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Pressão na superfície: P_{\text{surf}} = 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
    • A temperatura da bolha não varia com a profundidade (processo isotérmico).
    • Densidade da água: \rho_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}0\\ \mathrm{kg/L}.
    • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s}^2.
    • Tratar o ar como gás ideal diatômico (essa informação pode ser útil para propriedades termodinâmicas, embora para o cálculo da entropia em processo isotérmico apenas a constante dos gases universais entre).
  • O que é pedido:
    a) Encontrar o volume da bolha no momento em que alcança a superfície do lago.
    b) Encontrar a variação de entropia do ar dentro da bolha durante esse processo.
Observações imediatas (apenas organização do que foi pedido, sem resolver ainda):
  • Precisaremos relacionar pressões entre fundo e superfície (pressão hidrostática).
  • O processo é isotérmico, então usaremos a relação P V= constante para o gás ideal e a fórmula da variação de entropia para processo isotérmico.

Passo 2

Converter unidades e calcular a pressão no fundo do lago (pressão absoluta onde a bolha estava).
A primeira coisa é expressar todos os dados em unidades SI consistentes:
  • Converter V_0 para metros cúbicos: V_0 = 20\\ \mathrm{cm}^3 = 20\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Converter a densidade da água para \mathrm{kg/m}^3. Como foi dada \rho_{\mathrm{H_2O}}=1{,}0\\ \mathrm{kg/L}, lembrando que 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3, \rho_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}0\\ \mathrm{kg/L} = 1{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Pressão na superfície: normalmente \,1{,}0\\ \mathrm{atm} será usado como 1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} (valor aproximado adotado nesse exercício). Então: P_{\text{surf}} = 1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora a pressão absoluta no fundo (onde a bolha estava) é a pressão da superfície acrescida da coluna de água:
P_0 = P_{\text{surf}} + \rho_{\mathrm{H_2O}}\,g\,h.
Substituindo os valores:
P_0 = 1{,}0\times 10^{5} + (1{,}0\times 10^{3}) \cdot 10 \cdot 5 = 1{,}0\times 10^{5} + 5{,}0\times 10^{4}.
Logo
P_0 = 1{,}5\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Vou comentar só para ficar claro: aqui usei a fórmula clássica da pressão hidrostática \Delta P=\rho g h que dá a pressão adicional causada pela coluna de fluido de altura h.

Passo 3

Calcular o volume final na superfície usando a condição isotérmica do gás ideal.
Porque a temperatura da bolha não varia com a profundidade, o processo é isotérmico. Para um gás ideal em um processo isotérmico e reversível temos que P V = \text{constante}. Assim, entre o estado inicial (fundo) e o estado final (superfície):
P_0 V_0 = P_{\text{surf}} V_{\text{surf}}.
Isolando V_{\text{surf}},
V_{\text{surf}} = \frac{P_0}{P_{\text{surf}}}\,V_0.
Substituindo P_0 = 1{,}5\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} e P_{\text{surf}} = 1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
\frac{P_0}{P_{\text{surf}}} = \frac{1{,}5\times 10^{5}}{1{,}0\times 10^{5}} = 1{,}5.
Portanto
V_{\text{surf}} = 1{,}5 \cdot V_0 = 1{,}5 \cdot 20\\ \mathrm{cm}^3 = 30\\ \mathrm{cm}^3.
Se desejar em unidades SI:
V_{\text{surf}} = 1{,}5 \cdot 2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3 = 3{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Explicação didática curta: quando a pressão diminui à medida que a bolha sobe, o mesmo número de mols de ar ocupa mais volume porque a temperatura é constante; a relação P V= constante dá esse fator de 1,5.

Passo 4

Preparar a fórmula e a ideia para calcular a variação de entropia do ar na bolha (parte b).
Teoria útil e explicada de forma passo a passo:
  • Para um gás ideal, a variação de entropia diferencial pode ser escrita como
    \mathrm{d}S = n C_V \frac{\mathrm{d}T}{T} + n R \frac{\mathrm{d}V}{V}.
    Aqui:
    • S é entropia total do gás;
    • n é o número de mols do gás na bolha;
    • C_V é a capacidade molar a volume constante;
    • R é a constante dos gases ideais ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)});
    • T é a temperatura absoluta;
    • V é o volume.
  • No processo do enunciado a temperatura é constante ( \mathrm{d}T=0), portanto o primeiro termo some e resta apenas
    \mathrm{d}S = n R \frac{\mathrm{d}V}{V}.
    Integrando entre V_0 e V_{\text{surf}}:
    \Delta S = n R \ln\!\left(\frac{V_{\text{surf}}}{V_0}\right).
    Esta é a fórmula padrão: variação de entropia de um gás ideal numa transformação isotérmica (reversível).
  • Observação prática: para calcular \Delta S numericamente precisa-se de n (número de mols). Podemos relacionar n com P_0, V_0 e T pela equação de estado P_0 V_0 = n R T. Assim:
    n R = \frac{P_0 V_0}{T}.
    Substituindo em \Delta S:
    \Delta S = \frac{P_0 V_0}{T}\,\ln\!\left(\frac{V_{\text{surf}}}{V_0}\right).
    Essa forma é útil porque P_0 V_0 é um produto que pode ser calculado em joules (Pa·m^3 = J) com os dados que temos; entretanto ainda aparece T no denominador. Como o enunciado não forneceu numericamente a temperatura absoluta, a expressão final ficará em função de T ou em função de n. Também é útil dar a variação de entropia por mol:
    \frac{\Delta S}{n} = R \ln\!\left(\frac{V_{\text{surf}}}{V_0}\right).

Passo 5

Calcular os valores numéricos conhecidos e simplificar a expressão para \Delta S usando os números que já obtivemos.
Primeiro calculei a razão de volumes (já feita no Passo 3):
\frac{V_{\text{surf}}}{V_0} = 1{,}5.
O logaritmo natural:
\ln\!\left(1{,}5\right) \approx 0{,}405465.
Calcular P_0 V_0 em unidades SI (joules):
  • Lembrete: P_0 = 1{,}5\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} e V_0 = 2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
P_0 V_0 = (1{,}5\times 10^{5}) \cdot (2{,}0\times 10^{-5}) = 3{,}0\\ \mathrm{J}.
Isso é conveniente: o produto P_0 V_0 3{,}0\\ \mathrm{J}.
Agora inserir na expressão de \Delta S:
\Delta S = \frac{P_0 V_0}{T}\,\ln\!\left(\frac{V_{\text{surf}}}{V_0}\right) = \frac{3{,}0}{T}\cdot 0{,}405465.
Multiplicando:
\Delta S = \frac{1{,}2164}{T}\\ \mathrm{J/K},
onde T é a temperatura absoluta (em kelvin) da bolha — constante durante o processo.
Também é útil apresentar a variação de entropia por mol, que não depende de T:
\frac{\Delta S}{n} = R\ln\!\left(1{,}5\right) \approx 8{,}314 \times 0{,}405465 \approx 3{,}37\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.
Comentário motivacional: se o enunciado não fornecer T, a forma \Delta S = \dfrac{1{,}2164}{T}\\ \mathrm{J/K} é a resposta correta e numérica até onde os dados permitem. Se for dado um valor de T (por exemplo T=293\\ \mathrm{K} ou T=300\\ \mathrm{K}), basta dividir para obter o valor numérico total da variação de entropia do ar na bolha.

Passo 6

Dar exemplos numéricos (opcionais) para fixar a ideia — e para você ter noção da ordem de grandeza.
  • Se fosse T=293\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}), então \Delta S = \frac{1{,}2164}{293}\approx 4{,}16\times 10^{-3}\\ \mathrm{J/K}.
  • Se fosse T=300\\ \mathrm{K}, então \Delta S = \frac{1{,}2164}{300}\approx 4{,}05\times 10^{-3}\\ \mathrm{J/K}.
Esses valores mostram que a variação total de entropia do conteúdo da bolha é pequena (milésimos de joule por kelvin), porque a bolha contém muito pouco ar (poucos mols).

Resposta

V_{\text{surf}} = 30\\ \mathrm{cm}^3 = 3{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3\n \displaystyle \Delta S = n R \ln\!\left(1{,}5\right)=\frac{P_0 V_0}{T}\ln\!\left(1{,}5\right)=\dfrac{1{,}2164}{T}\\ \mathrm{J/K}\quad\text{(onde \(T é a temperatura absoluta)})

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