No intervalo de temperatura de 310 K a 330 K , a pressão P de um certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T através da equação: p=(25 \mathrm{~J} / \mathrm{K}) \frac{T}{V}-\left(0,002 \mathrm{~J} / K^{2}\right) \frac{T^{2}}{V}.
Qual é o trabalho realizado pelo gás se o volume aumenta de 20 litros para 55 litros à temperatura constante de 320 K ?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão, volume e temperatura do gás (no intervalo de temperatura entre 310 K e 330 K):
p=\left(25\\ \mathrm{J/K}\right)\frac{T}{V}-\left(0,002\\ \mathrm{J/K^{2}}\right)\frac{T^{2}}{V}.
Pede-se o trabalho realizado pelo gás quando o volume aumenta de 20 litros para 55 litros à temperatura constante de 320\\ \mathrm{K}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de p em função de T e V (copiada acima).
  • Temperatura constante: T=320\\ \mathrm{K} (peguei do enunciado).
  • Volume inicial: V_1=20\\ \mathrm{L} (peguei do enunciado).
  • Volume final: V_2=55\\ \mathrm{L} (peguei do enunciado).

Passo 2

Lembrete físico-matemático para esta situação (aula rápida e prática):
  • Trabalho realizado por um gás em um processo quasistático em que a pressão depende do volume é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} p(V)\,dV.
  • Aqui a temperatura é constante (processo isoterma em T=320\\ \mathrm{K}), então usamos a expressão de p fornecida, avaliando T como constante dentro da integral.
  • A integral básica que vamos usar é a de 1/V:
\int \frac{1}{V}\,dV=\ln V + C,
onde \ln é o logaritmo natural. Isso significa que sempre que tivermos um termo proporcional a 1/V, a integral entre V_1 e V_2 \ln(V_2/V_1).

Passo 3

Substituímos a expressão de p na integral do trabalho. Primeiro fatoramos os termos que são constantes (com respeito a V):
p=\frac{25\,T-0,002\,T^{2}}{V}.
Logo
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV=\int_{V_1}^{V_2}\frac{25\,T-0,002\,T^{2}}{V}\,dV.
Como T é constante, o fator (25\,T-0,002\,T^{2}) sai da integral:
W=\bigl(25\,T-0,002\,T^{2}\bigr)\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,dV.

Passo 4

Aplicando a integral de 1/V:
W=\bigl(25\,T-0,002\,T^{2}\bigr)\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Agora vamos calcular cada parte numericamente. Primeiro calcule o coeficiente \bigl(25\,T-0,002\,T^{2}\bigr) para T=320\\ \mathrm{K}.
Calculemos passo a passo:
25\cdot320=8000,
320^{2}=102400,
0,002\cdot102400=204,8.
Portanto
25\cdot320-0,002\cdot320^{2}=8000-204,8=7795,2.
A unidade desse coeficiente é joule (porque (\mathrm{J/K})\cdot K=\mathrm{J} e dividido por V dá pressão; multiplicando pela variação logarítmica de volume resulta em joules para o trabalho).

Passo 5

Converter volumes de litros para metros cúbicos (SI), porque as constantes foram dadas em unidades baseadas em joules:
V_1=20\\ \mathrm{L}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}=0,020\\ \mathrm{m^{3}},
V_2=55\\ \mathrm{L}=55\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}=0,055\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculemos a razão e o logaritmo natural:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{0,055}{0,020}=2{,}75,
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln(2{,}75)\approx1{,}011601.

Passo 6

Agora multiplica-se o coeficiente pelo logaritmo:
W=7795{,}2\times1{,}011601\approx7885{,}632.
Arredondando de forma razoável, o trabalho realizado pelo gás é aproximadamente 7{,}89\times10^{3}\\ \text{J} (ou 7886\\ \text{J}). Como o volume aumentou, o trabalho é positivo — o gás realizou trabalho sobre o entorno.

Resposta

7{,}886\times10^{3}\\ \text{J}

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