No intervalo de temperatura de 310 K a 330 K , a pressão P de um certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T através da equação: p=(25 \mathrm{~J} / \mathrm{K}) \frac{T}{V}-\left(0,002 \mathrm{~J} / K^{2}\right) \frac{T^{2}}{V}.
Qual é o trabalho realizado pelo gás se a temperatura aumenta de 312 K para 329 K enquanto a pressão permanece constante?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão p, volume V e temperatura T na forma
p = \left(25\\ \mathrm{J/K}\right)\frac{T}{V} - \left(0,002\\ \mathrm{J/K^{2}}\right)\frac{T^{2}}{V}.
Os dados numéricos relevantes são:
  • Temperatura inicial \;T_{1}=312\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final \;T_{2}=329\\ \mathrm{K}.
  • A pressão permanece constante durante o aquecimento (ou seja, p= constante).
O que o problema pede:
  • Calcular o trabalho realizado pelo gás quando a temperatura aumenta de \;T_{1} para \;T_{2} com pressão constante.

Passo 2

Lembrando a definição física de trabalho realizado por um gás em um processo quasi‑estático:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV,
onde p é a pressão do gás, V o volume e os limites são os volumes correspondentes aos estados inicial e final. Se a pressão é constante durante o processo, a integral simplifica para
W = p\,(V_{2}-V_{1}) = p\,\Delta V.
Isso significa: se p é constante, basta saber a variação de volume para calcular o trabalho. Vou agora expressar V em função de T usando a equação dada, para obter \Delta V.

Passo 3

Multiplico a equação fornecida por V para obter uma forma útil para pV:
pV = \left(25\\ \mathrm{J/K}\right)T - \left(0,002\\ \mathrm{J/K^{2}}\right)T^{2}.
Aqui cada termo tem unidade de energia ( \mathrm{J}), portanto pV tem unidade correta. Como p é constante nesse processo, o produto pV é uma função só de T; isso nos permite escrever o trabalho como variação desse produto, pois
W = p\,(V_{2}-V_{1}) = (pV)_{2} - (pV)_{1}.
Substituindo a expressão de pV em termos de T,
W = \Big[\,25T - 0{,}002\,T^{2}\,\Big]_{T_{1}}^{T_{2}} = \big(25T_{2}-0{,}002T_{2}^{2}\big)-\big(25T_{1}-0{,}002T_{1}^{2}\big).
Observação didática: aqui não foi necessário saber o valor numérico de p; ele “caiu” ao usar pV, o que é prático para a conta — sempre bom procurar identidades assim na prova.

Passo 4

Agora vou avaliar a expressão numérica para cada temperatura.
Calculo para T_{2}=329\\ \mathrm{K}:
25T_{2}=25\cdot329=8225,
0{,}002T_{2}^{2}=0{,}002\cdot329^{2}=0{,}002\cdot108241=216{,}482.
Portanto
25T_{2}-0{,}002T_{2}^{2}=8225-216{,}482=8008{,}518\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculo para T_{1}=312\\ \mathrm{K}:
25T_{1}=25\cdot312=7800,
0{,}002T_{1}^{2}=0{,}002\cdot312^{2}=0{,}002\cdot97344=194{,}688.
Portanto
25T_{1}-0{,}002T_{1}^{2}=7800-194{,}688=7605{,}312\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Subtraio os dois resultados para obter o trabalho:
W = 8008{,}518 - 7605{,}312 = 403{,}206\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: o trabalho é positivo, isto é, o gás realizou trabalho (expandiu) enquanto foi aquecido a pressão constante.

Resposta

403{,}206\\ \mathrm{J}

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