Uma bolha de ar de 8 mm de diâmetro é liberada pelo aparelho regulador de respiração de um mergulhador a 30 m abaixo da superfície da água. Assumindo que a temperatura da água é 20^{\circ} \mathrm{C}, com densidade de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, estime o diâmetro da bolha no momento em que ela atinge a superfície.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma bolha de ar de diâmetro inicial d_1=8 mm é liberada a profundidade h=30 m. Queremos estimar o diâmetro d_2 quando a bolha atinge a superfície, em que a pressão diminuiu. O conteúdo envolvido é a lei dos gases ideais em processo isotérmico ( T=constante) e a pressão hidrostática na coluna de água.

Passo 2

Calcular as pressões no ponto de liberação P_1 e na superfície P_2. A pressão absoluta a profundidade h é
P_1 = P_0 + \rho\,g\,h
em que P_0 é a pressão atmosférica, \rho=1000,kg/ m^{3} é a densidade da água e g=9,8,m/ s^{2} é a aceleração da gravidade. Na superfície, P_2 = P_0.
Adotando P_0 = 1,01\times10^5,Pa, temos
P_1 = 1,01\times10^5 + 1000\cdot9,8\cdot30 \approx 3,95\times10^5\\ \text{Pa},
P_2 = 1,01\times10^5\\ \text{Pa}.

Passo 3

Usar a condição isotérmica da lei dos gases ideais, que dá
P_1 V_1 = P_2 V_2,
onde V é o volume da bolha. Como o volume de uma esfera varia como V\propto d^3, escrevemos
\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{d_2}{d_1}\Bigr)^3 = \frac{P_1}{P_2} \quad\Longrightarrow\quad d_2 = d_1\Bigl(\frac{P_1}{P_2}\Bigr)^{1/3}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\frac{P_1}{P_2} \approx \frac{3,95\times10^5}{1,01\times10^5}\approx3,91 \quad\Longrightarrow\quad d_2 = 8\\ \text{mm}\times(3,91)^{1/3}\approx8\\ \text{mm}\times1,57\approx12,6\\ \text{mm}.

Resposta

O diâmetro da bolha ao chegar à superfície é de aproximadamente 12,6 mm.

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