Q7) Uma bolinha de aço é atirada verticalmente para cima com velocidade de módulo 10 m / s, a partir de uma altura inicial de 75 m do solo. A bolinha adquire um movimento retilíneo com aceleração constante e de módulo g=10 m / s^2 e no seu retorno chega até o solo.
Determine, a contar do instante de lançamento:
a) o instante T 1 em que a bolinha passa pelo ponto inicial de lançamento;
b) o instante T2 em que a bolinha atinge o solo;
c) a altura máxima atingida pela bolinha.

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento retilíneo vertical envolvendo uma bolinha de aço lançada para cima. O que precisamos aqui são conceitos de cinemática, como equações do movimento uniformemente variado (MUV). Vamos calcular o tempo que a bolinha leva para voltar ao ponto de lançamento, o tempo total até atingir o solo e a altura máxima que ela alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Velocidade inicial ( v0) = 10 m/s (para cima)
  • Altura inicial ( h0) = 75 m
  • Aceleração devido à gravidade ( g) = 10 m/s² (para baixo)
  • A posição inicial ( y0) = 75 m

Passo 3

Para encontrar o instante T1 em que a bolinha passa novamente pelo ponto de lançamento, usamos a equação da posição no MUV:
y = y0 + v0 t - 12 g t^2
Quando a bolinha retorna ao ponto de lançamento, y = y0. Então:
y0 = y0 + v0 t - 12 g t^2
Simplificando:
0 = v0 t - 12 g t^2
0 = t(v0 - 12 g t)
Isso nos dá duas soluções: t = 0 (instante de lançamento) e t = 2 v0g.

Passo 4

Calculando T1:
T1 = 2 v0g = 2 times 1010 = 2 segundos

Passo 5

Agora, para encontrar o instante T2 em que a bolinha atinge o solo, usamos novamente a equação da posição, mas agora y = 0:
0 = y0 + v0 t - 12 g t^2
Substituindo os valores:
0 = 75 + 10 t - 5 t^2
Rearranjando:
5 t^2 - 10 t - 75 = 0
Simplificando dividindo por 5:
t^2 - 2 t - 15 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
t = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm raiz642 = 2 pm 82
As soluções são t = 5 segundos e t = -3 segundos. Descartamos o tempo negativo, então:
T2 = 5 segundos

Passo 7

Para encontrar a altura máxima, usamos a fórmula da altura no MUV:
hmax = y0 + v0^22 g
Substituindo os valores:
hmax = 75 + 10^22 times 10 = 75 + 10020 = 75 + 5 = 80 metros

Resposta

a) T1 = 2 segundos
b) T2 = 5 segundos
c) A altura máxima atingida é de 80 metros.

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