Dada a função potencial no espaço livre V=2 x+4 y(V), calcule a energia acumulada num volume de 1 m^3 centrado na origem. Examine, também, outros volumes de 1 m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função potencial no espaço livre, que é $ V = 2x + 4y $ volts. A gente precisa calcular a energia armazenada em um volume de $ 1 , m^3 $ centrado na origem e também em outros volumes de $ 1 , m^3 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico e, a partir daí, calcular a energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado com o potencial elétrico $ V $ pela equação:
E
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ V $. Como $ V = 2x + 4y $, derivamos $ V $ em relação a $ x $ e $ y $:
V
Portanto, o campo elétrico é:
V = 2x + 4y

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico, vamos calcular a densidade de energia elétrica $ u $. A fórmula para isso é:
u
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, aproximadamente $ 8,854 \times 10^{-12} , F/m $.

Passo 5

Vamos calcular $ |\mathbf{E}|^2 $:
|E|^2
Então, a densidade de energia fica:
|E|^2 = (-2)^2 + (-4)^2 + 0^2 = 4 + 16 = 20 , V^2/m^2

Passo 6

Para encontrar a energia total $ U $ armazenada no volume de $ 1 , m^3 $, multiplicamos a densidade de energia pelo volume:
U

Passo 7

Agora, sobre outros volumes de $ 1 , m^3 $, como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é constante em todo o espaço (não depende de $ x $ ou $ y $), a energia armazenada será a mesma em qualquer volume de $ 1 , m^3 $. Ou seja, independentemente de onde você escolha o volume, a energia acumulada será $ 8,854 \times 10^{-11} , J $.

Resposta

A energia acumulada em qualquer volume de $ 1 , m^3 $ é $ 8,854 \times 10^{-11} , J $.

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