Dada a função potencial no espaço livre
, calcule a energia acumulada num volume de
centrado na origem. Examine, também, outros volumes de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função potencial no espaço livre, que é $ V = 2x + 4y $ volts. A gente precisa calcular a energia armazenada em um volume de $ 1 , m^3 $ centrado na origem e também em outros volumes de $ 1 , m^3 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico e, a partir daí, calcular a energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado com o potencial elétrico $ V $ pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de $ V $. Como $ V = 2x + 4y $, derivamos $ V $ em relação a $ x $ e $ y $:
Portanto, o campo elétrico é:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico, vamos calcular a densidade de energia elétrica $ u $. A fórmula para isso é:
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, aproximadamente $ 8,854 \times 10^{-12} , F/m $.
Passo 5
Vamos calcular $ |\mathbf{E}|^2 $:
Então, a densidade de energia fica:
Passo 6
Para encontrar a energia total $ U $ armazenada no volume de $ 1 , m^3 $, multiplicamos a densidade de energia pelo volume:
Passo 7
Agora, sobre outros volumes de $ 1 , m^3 $, como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é constante em todo o espaço (não depende de $ x $ ou $ y $), a energia armazenada será a mesma em qualquer volume de $ 1 , m^3 $. Ou seja, independentemente de onde você escolha o volume, a energia acumulada será $ 8,854 \times 10^{-11} , J $.
Resposta
A energia acumulada em qualquer volume de $ 1 , m^3 $ é $ 8,854 \times 10^{-11} , J $.