Uma bolinha amarrada a um fio de comprimento l=1,00 m gira num plano vertical, de modo que passa pelo ponto mais alto com velocidade v min igual à mínima necessária para descrever o círculo completo. Despreze os efeitos do atrito ao responder as questões abaixo.
a) Esboce o diagrama de corpo livre da bolinha no ponto mais alto da trajetória.
b) Determine a relação de v min com o comprimento do fio e a aceleração da gravidade e justifique porque v min não depende da massa da bolinha.
c) Determine a massa da bolinha se o módulo da tração no fio no ponto mais baixo é 4,5 N maior que no ponto que fica à mesma altura do centro do círculo.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: uma bolinha num fio de comprimento gira num plano vertical e, no ponto mais alto, ela tem a velocidade mínima pra não afrouxar o fio (sem atrito). A gente precisa:
a) desenhar o diagrama de forças (FBD) lá no topo;
b) achar em função de e , e explicar por que não aparece a massa;
c) descobrir a massa da bolinha se a tração no fundo é 4,5 N maior que na posição que está à mesma altura do centro.
Conteúdo que vamos usar:
  • Leis de Newton (força centrípeta)
  • Conservação de energia mecânica
  • Relação tensão e aceleração centrípeta

Passo 2

Item (a): Diagrama de corpo livre no ponto mais alto
  1. Força peso apontando pra baixo.
  2. Tração no fio (sempre puxando, apontando pro centro do círculo, que no topo é para baixo também).
Então, no topo, os vetores são:
e .

Passo 3

Item (b): sum F = m,v^2l Longrightarrow P + T = m,v^2l Longrightarrow m,g + T = m,v^2l no topo
Teoria aplicada: para movimento circular uniforme devemos ter uma força resultante apontando pro centro = massa × aceleração centrípeta.
No topo, tomando “para baixo” como sentido positivo,
m,g = m,vmin^2l Longrightarrow vmin^2 = g,l Longrightarrow boxedvmin = raizg,l
Na velocidade mínima, o fio está “encostando” só o suficiente, ou seja . Aí
Repare que cancela, por isso não depende da massa!

Passo 4

Item ©: massa com diferença de tração de 4,5 N
  1. Primeiro achamos as velocidades nos outros pontos usando conservação de energia entre topo e essas posições.
  • No topo a energia cinética é Ecima = Emeio Longrightarrow tfrac12 m (g,l) + m g,l = tfrac12 m,vmeio^2 + m g,(0) e a potencial é tfrac12 m g l + m g l = tfrac12 m,vmeio^2 Longrightarrow vmeio^2 = 3,g,l (tomando referêcia de zero lá no centro).
  • Na mesma altura do centro ( Ecima = Efundo Longrightarrow tfrac12 m g l + m g l = tfrac12 m,vfundo^2 + m g(-l) ): tfrac32 m g l = tfrac12 m,vfundo^2 - m g l Longrightarrow tfrac12 m,vfundo^2 = tfrac52 m g l Longrightarrow vfundo^2 = 5,g,l Tmeio = m,vmeio^2l = m,3 g ll = 3,m,g
  • No ponto mais baixo ( Tfundo - m g = m,vfundo^2l Longrightarrow Tfundo = m g + m,5 g ll = 6,m,g ): Tfundo - Tmeio = 6,m,g - 3,m,g = 3,m,g = 4,5 N m = 4,53,g = 4,53 times 9,8 approx 0,153 kg
  1. Agora as trações:
  • Na altura do centro o fio é horizontal, então todo dá a força centrípeta:
  • No ponto mais baixo (fio vertical pra cima), as forças verticais equilibram a centrípeta pra cima:
  1. Diferença dada:

Resposta

a) FBD no topo: peso para baixo e tração para baixo.
b) , não depende de porque ela cancela na equação de Newton.
c)

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