Uma massa puntiforme m parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio r. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache:
a) a variação de energia potencial da massa com o ângulo.
b) a energia cinética como função do ângulo.
c) as acelerações radial e tangencial em função do ângulo.
d) o ângulo thetaa em que a massa desencosta da esfera.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que uma massinha de massa começa do repouso no topo de uma esfera de raio e desliza sem atrito. A gente mede o ângulo a partir da vertical (no topo ) e conta a energia potencial zero no topo.
Conteúdo: conservação de energia mecânica e decomposição de forças em coordenadas radial e tangencial. Vamos precisar relacionar a altura percorrida com , usar e aplicar a Segunda Lei de Newton em duas direções.

Passo 2

(a) Variação da energia potencial h = r - rcostheta = rl(1-costhetar)
  1. A variação de altura boxedDe quando a massa chega ao ângulo é
  1. Como , vem

Passo 3

(b) Energia cinética K(theta) + U(theta) = 0 + 0
  1. Conservação da energia mecânica: K(theta) = -De. No início boxedK(theta) = mg,rl(1-costhetar) e (marcou como referência). No ângulo :
  1. Logo
  1. Portanto

Passo 4

© Acelerações radial e tangencial
  1. Tangencial: a força tangencial que puxa a massa pra baixo é at = gsintheta . Pela Segunda Lei, arm rad = v^2r = 2g,r(1-costheta)r = 2gl(1-costhetar) , então
boxedat(theta)=gsintheta, arm rad(theta)=2gl(1-costhetar)
  1. Radial (centrípeta): a velocidade satisfaz . A aceleração radial para dentro é
  1. Assim,

Passo 5

(d) Ângulo de descolamento N - mgcostheta = -m,v^2r
  1. A massa perde contato quando a normal mgcosthetaa = m,v^2r = m2g,r(1-costhetaa)r = 2mgl(1-costhetaar) some. Na direção radial:
costhetaa = 2l(1-costhetaar);Longrightarrow;3costhetaa=2;Longrightarrow;costhetaa=tfrac23
Se boxedthetaa = arccos!l(tfrac23r) , fica
  1. Divide por :
  1. Logo

Resposta

a)
b)
c) ,
d)

Exercícios relacionados