Uma massa puntiforme
parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio
. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache:
a) a variação de energia potencial da massa com o ângulo.
b) a energia cinética como função do ângulo.
c) as acelerações radial e tangencial em função do ângulo.
d) o ângulo
em que a massa desencosta da esfera.
a) a variação de energia potencial da massa com o ângulo.
b) a energia cinética como função do ângulo.
c) as acelerações radial e tangencial em função do ângulo.
d) o ângulo
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que uma massinha de massa
começa do repouso no topo de uma esfera de raio
e desliza sem atrito. A gente mede o ângulo
a partir da vertical (no topo
) e conta a energia potencial zero no topo.
Conteúdo: conservação de energia mecânica e decomposição de forças em coordenadas radial e tangencial. Vamos precisar relacionar a altura percorrida com , usar
e aplicar a Segunda Lei de Newton em duas direções.
Conteúdo: conservação de energia mecânica e decomposição de forças em coordenadas radial e tangencial. Vamos precisar relacionar a altura percorrida com
Passo 2
(a) Variação da energia potencial
- A variação de altura
quando a massa chega ao ângulo é
- Como
, vem
Passo 3
(b) Energia cinética
- Conservação da energia mecânica:
. No início e (marcou como referência). No ângulo :
- Logo
- Portanto
Passo 4
© Acelerações radial e tangencial
- Tangencial: a força tangencial que puxa a massa pra baixo é
. Pela Segunda Lei, , então
- Radial (centrípeta): a velocidade
satisfaz . A aceleração radial para dentro é
- Assim,
Passo 5
(d) Ângulo de descolamento
- A massa perde contato quando a normal
some. Na direção radial:
Se
, fica
- Divide por
:
- Logo
Resposta
a)
b)
c) ,
d)
b)
c)
d)