Uma bolinha de massa m é lançada obliquamente em direção a um alvo pequeno de massa M \geq m em repouso no solo. A bolinha atinge o alvo em uma direção que faz um ângulo \theta com a horizontal. A colisão é elástica. Dado que, após a colisão, a bolinha ricocheteia elasticamente, e o alvo move-se ao longo do solo sem atrito sem quicar, calcule o ângulo de reflexão com a horizontal da bolinha. O que acontece para os casos limite M \gg m e M=m ?

Passo 1

O enunciado descreve uma bola de massa m que chega com velocidade \mathbf{v} formando ângulo \theta com a horizontal. As componentes de \mathbf{v} são
v_x = v\cos\theta, \quad v_y = v\sin\theta.
Ela colide elastically com um alvo de massa M\ge m que estava em repouso sobre o chão livre de atrito, podendo só se mover horizontalmente. Queremos achar o ângulo de reflexão \varphi entre a velocidade final da bola e a horizontal.

Passo 2

Na vertical, o alvo não se move, logo qualquer impulso vertical na colisão acaba sendo transmitido ao chão. Assim, para a bola o choque vertical é equivalente a um choque perfeitamente elástico contra uma parede fixa, de modo que a componente y da bola inverte de sinal sem mudar de módulo:
u_y = -\,v_y = -\,v\sin\theta.

Passo 3

Na horizontal, bola e alvo formam uma colisão elástica unidimensional. Se antes o alvo estava em repouso, as velocidades após a colisão são dadas por
u_x = \frac{m - M}{\,m + M\,}\;v_x, \quad V = \frac{2\,m}{\,m + M\,}\;v_x
onde u_x é a componente horizontal da bola e V é a velocidade do alvo.

Passo 4

O ângulo de reflexão \varphi (medido em módulo) satisfaz
\tan\varphi = \frac{\lvert u_y\rvert}{\lvert u_x\rvert} = \frac{v\sin\theta}{\bigl|\tfrac{m - M}{m + M}\,v\cos\theta\bigr|} = \frac{m + M}{\lvert m - M\rvert}\,\tan\theta.
Como para M>m a bola inverte até a componente horizontal (ou seja, sai para trás), costuma-se escrever
\varphi = \arctan\!\biggl(\frac{m + M}{M - m}\,\tan\theta\biggr),
apontando para baixo em relação à horizontal.

Passo 5

Analisando casos extremos:
  1. M\gg m:
    \frac{m+M}{M-m}\approx1 e a bola reflete quase simetricamente, ou seja, \varphi\approx\theta saindo quase na mesma direção de onde veio, só invertendo o sentido.
  2. M = m:
    \frac{m+M}{M-m}\to\infty, logo \varphi\to90^\circ. A bola perde toda a componente horizontal e sai verticalmente para baixo.

Resposta

\varphi = \arctan\!\Bigl(\tfrac{m + M}{M - m}\,\tan\theta\Bigr).
Para M\gg m, \varphi\approx\theta. Para M=m, \varphi=90^\circ.

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