Uma partícula de massa m e velocidade v_{0} colide de modo parcialmente inelástico com um alvo em repouso de massa m^{\prime}. O movimento é inteiramente unidimensional e sem atrito. Considerando que o coeficiente de restituição, e, uma grandeza adimensional não negativa, definido como a razão entre as velocidades relativas de afastamento (depois da colisão) e aproximação (antes da colisão) das partículas, é conhecido, determine: a) as velocidades das partículas após a colisão; b) a energia cinética total dissipada pela inelasticidade da colisão.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão unidimensional entre duas partículas, uma de massa m com velocidade inicial v_{0} e outra de massa m' em repouso. A colisão é parcialmente inelástica, com coeficiente de restituição e. Para resolver, vamos usar dois princípios fundamentais:
  1. Conservação da quantidade de movimento linear.
  2. Definição do coeficiente de restituição como razão entre velocidades relativas de afastamento e aproximação.

Passo 2

Pela conservação da quantidade de movimento antes e depois da colisão, temos
m\,v_{0} \;=\; m\,v_{1} \;+\; m'\,v_{2},
onde v_{1} é a velocidade da massa m após a colisão e v_{2} a da massa m'.

Passo 3

Pela definição do coeficiente de restituição, a velocidade relativa de afastamento dividida pela de aproximação é
e \;=\;\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{0}-0} \;\;\Longrightarrow\;\; v_{2}-v_{1}=e\,v_{0}.

Passo 4

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações,
\begin{cases} m\,v_{0}=m\,v_{1}+m'\,v_{2},\\\ v_{2}-v_{1}=e\,v_{0}, \end{cases}
substituímos v_{2}=v_{1}+e\,v_{0} na conservação de momento e obtemos
m\,v_{0}=m\,v_{1}+m'\,(v_{1}+e\,v_{0}) \;\Longrightarrow\; (m+m')\,v_{1}=m\,v_{0}-m'\,e\,v_{0} \;\Longrightarrow\; v_{1}=\frac{m - m'\,e}{m+m'}\,v_{0}.
Em seguida,
v_{2}=v_{1}+e\,v_{0} =\frac{m - m'\,e}{m+m'}\,v_{0}+e\,v_{0} =\frac{m(1+e)}{m+m'}\,v_{0}.

Passo 5

A energia cinética inicial é
K_{\rm in}=\tfrac12\,m\,v_{0}^{2}.
A energia cinética final vale
K_{\rm fin} =\tfrac12\,m\,v_{1}^{2}+\tfrac12\,m'\,v_{2}^{2}.
Em vez de substituir diretamente as expressões complexas de v_{1} e v_{2}, usamos a fórmula geral para a energia dissipada numa colisão unidimensional:
\Delta K =K_{\rm in}-K_{\rm fin} =\tfrac12\,\mu\,(1-e^{2})\,(v_{0}-0)^{2},
onde \mu=\dfrac{m\,m'}{m+m'} é a massa reduzida e a velocidade relativa inicial é v_{0}. Logo,
\Delta K =\tfrac12\,\frac{m\,m'}{m+m'}\,(1-e^{2})\,v_{0}^{2}.

Resposta

As velocidades após a colisão são
v_{1}=\frac{m - m'\,e}{m+m'}\,v_{0}, \quad v_{2}=\frac{m(1+e)}{m+m'}\,v_{0}.
A energia cinética dissipada pela inelasticidade é
\Delta K =\tfrac12\,\frac{m\,m'}{m+m'}\,(1-e^{2})\,v_{0}^{2}.

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