Três partículas de massas
e
estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Um dos lados do triângulo está sobre o eixo
e a altura do triângulo está sobre o eixo
. a) Calcule a posição do centro de massa do sistema, considerando que as partículas de massa
e
estão nos vértices sobre o eixo
, da direta para a esquerda, respectivamente. b) Considerando todas as massas iguais, mostre que, se as três partículas interagem gravitacionalmente, a força resultante sobre cada uma delas aponta na direção do centro de massa do sistema.
Passo 1
O enunciado coloca três partículas de massas
nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Um lado está sobre o eixo
e a altura sobre o eixo
. Na parte (a) pedem a posição do centro de massa do sistema. Na parte (b) assumimos
e mostramos que a força resultante sobre cada partícula, devida às demais, aponta para o centro de massa. Para resolver precisamos:
– Escolher convenientemente as coordenadas dos vértices.
– Calcular .
– No caso igual de massas, somar vetorialmente as forças de gravitação e comparar a direção com .
– Escolher convenientemente as coordenadas dos vértices.
– Calcular
– No caso igual de massas, somar vetorialmente as forças de gravitação e comparar a direção com
Passo 2
Escolhemos o vértice de massa
em
, o de
em
e o de
em
, onde
é a altura do triângulo equilátero.
Passo 3
A posição do centro de massa é dada por
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Para
as expressões simplificam-se a
Portanto o centro de massa fica em
.
Passo 5
Agora calculamos a força resultante sobre
(em
) devido a
e
. Como todas têm massa
, a magnitude de cada par é
A força de
sobre
vale
e a de
sobre
tem direção do vetor
de norma
, logo
Somando,
Passo 6
O vetor que vai de
ao centro de massa é
A razão entre componentes é
a mesma para
. Assim
é paralelo a
, i.e.\ aponta para o centro de massa. Idem por simetria em cada partícula.
Resposta
a)
b) Para
a resultante de cada partícula tem direção paralela ao vetor que a une ao centro de massa, portanto aponta para ele.