Três partículas de massas m_{1}, m_{2} e m_{3} estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado l. Um dos lados do triângulo está sobre o eixo O x e a altura do triângulo está sobre o eixo O y. a) Calcule a posição do centro de massa do sistema, considerando que as partículas de massa m_{1} e m_{2} estão nos vértices sobre o eixo O x, da direta para a esquerda, respectivamente. b) Considerando todas as massas iguais, mostre que, se as três partículas interagem gravitacionalmente, a força resultante sobre cada uma delas aponta na direção do centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado coloca três partículas de massas m_{1},m_{2},m_{3} nos vértices de um triângulo equilátero de lado l. Um lado está sobre o eixo Ox e a altura sobre o eixo Oy. Na parte (a) pedem a posição do centro de massa do sistema. Na parte (b) assumimos m_{1}=m_{2}=m_{3} e mostramos que a força resultante sobre cada partícula, devida às demais, aponta para o centro de massa. Para resolver precisamos:
– Escolher convenientemente as coordenadas dos vértices.
– Calcular \vec r_{CM}.
– No caso igual de massas, somar vetorialmente as forças de gravitação e comparar a direção com \vec r_{CM}-\vec r_{i}.

Passo 2

Escolhemos o vértice de massa m_{1} em \bigl(x_{1},y_{1}\bigr)=(\tfrac l2,0), o de m_{2} em \bigl(x_{2},y_{2}\bigr)=(-\tfrac l2,0) e o de m_{3} em \bigl(x_{3},y_{3}\bigr)=(0,h), onde
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,l
é a altura do triângulo equilátero.

Passo 3

A posição do centro de massa é dada por
x_{CM} =\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \quad,\quad y_{CM} =\frac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}.
Substituindo \,x_{1}=\tfrac l2,\;x_{2}=-\tfrac l2,\;x_{3}=0 e y_{1}=y_{2}=0,\;y_{3}=h, obtemos
x_{CM} =\frac{m_{1}\,\frac l2 + m_{2}\,\bigl(-\frac l2\bigr)}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} =\frac{(m_{1}-m_{2})\,l}{2\,(m_{1}+m_{2}+m_{3})},
y_{CM} =\frac{m_{3}\,h}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} =\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\;\frac{\sqrt{3}}{2}\,l.

Passo 4

Para m_{1}=m_{2}=m_{3}=m as expressões simplificam-se a
x_{CM}=0, \qquad y_{CM}=\frac{m}{3m}\;\frac{\sqrt{3}}{2}\,l =\frac{\sqrt{3}}{6}\,l.
Portanto o centro de massa fica em \bigl(0,\tfrac{\sqrt{3}}{6}l\bigr).

Passo 5

Agora calculamos a força resultante sobre m_{1} (em (\tfrac l2,0)) devido a m_{2} e m_{3}. Como todas têm massa m, a magnitude de cada par é
F=\frac{G\,m^{2}}{l^{2}}.
A força de m_{2} sobre m_{1} vale
\vec F_{12} = \bigl(-F,\,0\bigr),
e a de m_{3} sobre m_{1} tem direção do vetor \bigl(-\tfrac l2,\;h\bigr) de norma l, logo
\vec F_{13} =F\;\bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
Somando,
\vec F_{1} =\vec F_{12}+\vec F_{13} =F\Bigl(-1-\tfrac12,\;0+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =F\Bigl(-\tfrac32,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 6

O vetor que vai de m_{1} ao centro de massa é
\vec r_{CM}-\vec r_{1} =\Bigl(0-\tfrac l2,\;\tfrac{\sqrt{3}}{6}l-0\Bigr) =\Bigl(-\tfrac l2,\;\tfrac{\sqrt{3}}{6}l\Bigr).
A razão entre componentes é
\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac32} =\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{6}l}{-\tfrac12\,l} =-\frac{\sqrt{3}}{3},
a mesma para \vec F_{1}. Assim \vec F_{1} é paralelo a \vec r_{CM}-\vec r_{1}, i.e.\ aponta para o centro de massa. Idem por simetria em cada partícula.

Resposta

a)
x_{CM} =\frac{(m_{1}-m_{2})\,l}{2\,(m_{1}+m_{2}+m_{3})}, \quad y_{CM} =\frac{m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\;\frac{\sqrt{3}}{2}\,l.
b) Para m_{1}=m_{2}=m_{3} a resultante de cada partícula tem direção paralela ao vetor que a une ao centro de massa, portanto aponta para ele.

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