1. Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(2 t,-t^3+4 t^2). Calcule:
    a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
    b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 s e t=2 s.
    c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
    d) A altura máxima alcançada ( y max ).
    e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma bolinha no plano por
r(t)=l(2t,,-t^3+4t^2r),
e pede:
a) a velocidade v(t) e a aceleração a(t);
b) a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=2;
c) o instante de altura máxima ( t>0);
d) o valor dessa altura máxima;
e) o instante e a posição onde a bolinha retorna ao solo ( y=0).

Passo 2

Para achar a velocidade usamos que v(t)=r'(t) derivando componente a componente, e a aceleração é a(t)=v'(t).
v(t) =l(2,,-3t^2+8tr), a(t) =l(0,,-6t+8r)

Passo 3

A velocidade média entre t=0 e t=2 é
barv =r(2)-r(0)2-0 =(4,,8)-(0,,0)2 =(2,,4)
A aceleração média é
bara =v(2)-v(0)2-0 =(2,,4)-(2,,0)2 =(0,,2)

Passo 4

Para achar o instante de altura máxima analisamos y(t)=-t^3+4t^2. Sua derivada é
y'(t)=-3t^2+8t=t,(-3t+8),
que se anula em t=0 ou em -3t+8=0Rightarrow t=tfrac83. Para t>0, o máximo ocorre em
tmax=83,s

Passo 5

A altura máxima é
yl(tfrac83r) =-l(tfrac83r)^3 +4l(tfrac83r)^2 =-51227+4cdot 649 =25627,m

Passo 6

Para achar quando a bolinha bate no solo, resolvemos y(t)=0:
-t^3+4t^2=0 ;longrightarrow; t^2(-t+4)=0 ;longrightarrow; t=0 ou t=4
O instante não trivial é t=4 s. Nesse instante
x(4)=2cdot 4=8, y(4)=0,
logo a posição é (8,0).

Resposta

a) v(t)=(2,,-3t^2+8t) e a(t)=(0,,-6t+8).
b) barv=(2,4) e bara=(0,2).
c) tmax=tfrac83,s
d) ymax=tfrac25627,m
e) Bate no solo em t=4,s, na posição (8,0).

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