Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 4 x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^4

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1=(y,4x^2) ao longo do caminho que vai de (0,0) a (1,1) seguindo a curva y=x^4. O conteúdo aqui é integral de linha: vamos parametrizar a curva, calcular dr, avaliar F1 ao longo da parametrização e integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos a curva por um parâmetro tin[0,1]:
x(t)=t, y(t)=t^4,
de modo que r(t)=(t,t^4), com r(0)=(0,0) e r(1)=(1,1).

Passo 3

Calculamos o diferencial de arco e a força na curva:
r'(t)=l(1,4t^3r),
F1l(r(t)r)=l(y(t),,4x(t)^2r)=l(t^4,,4t^2r)

Passo 4

O produto escalar é
F1l(r(t)r)cdotr'(t) = t^4cdot1 + 4t^2cdot4t^3 = t^4 + 16,t^5
Logo, o trabalho é
W = integral0^1l(t^4+16,t^5r),dt
Calculando,
W = [t^55 + 16,t^66]0^1 = 15 + 166 = 15 + 83 = 4315

Resposta

W = 4315

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