1. Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(3 t,-t^2+4 t). Calcule:
    a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
    b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=1 s e t=2 s.
    c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
    d) A altura máxima alcançada ( y max ).
    e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bolinha no plano
r(t)=(3t,,-t^2+4t).
Vamos usar derivação para obter a velocidade v(t) e a aceleração a(t), depois calcular as médias entre t=1 s e t=2 s, achar o vértice da parábola y(t) para a altura máxima e resolver a equação quadrática y(t)=0 para o choque com o solo.

Passo 2

Para a velocidade, derivamos cada componente de r(t). A derivada de 3t é 3 e a de -t^2+4t é -2t+4. Logo
v(t)=(3,,-2t+4)
A aceleração é a derivada de v(t). A derivada de 3 é 0 e a de -2t+4 é -2. Assim,
a(t)=(0,,-2)

Passo 3

A velocidade média entre t1=1 s e t2=2 s é
v =r(2)-r(1)2-1
Como r(2)=(6,4) e r(1)=(3,3), temos
v=(3,,1)
A aceleração média é
a =v(2)-v(1)2-1
Com v(2)=(3,0) e v(1)=(3,2), vem
a=(0,,-2)

Passo 4

Para achar o instante de altura máxima, derivamos
y(t)=-t^2+4t
e igualamos a zero:
dydt=-2t+4=0 Longrightarrow t=2 s

Passo 5

A altura máxima é
y(2)=-4+8=4 m

Passo 6

O choque no solo ocorre quando
-t^2+4t=0 Longrightarrow t(t-4)=0
Desconsideramos t=0 e ficamos com t=4 s. A posição é
x(4)=3cdot4=12,
logo r(4)=(12,0).

Resposta

(a) v(t)=(3,,-2t+4), a(t)=(0,,-2).
(b) v=(3,,1), a=(0,,-2).
(c) t=2 s.
(d) ymax=4 m.
(e) t=4 s e r(4)=(12,,0).

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