Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( em metros) em função do tempo ( em segundos) é descrita pela função vetorial . Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes e .
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( do ) para .
d) A altura máxima alcançada ( ).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer ) e em que posição isso acontece.
Passo 1
O enunciado dá a posição da bolinha no plano .
Vamos usar derivação para obter a velocidade e a aceleração , depois calcular as médias entre s e s, achar o vértice da parábola para a altura máxima e resolver a equação quadrática para o choque com o solo.
Passo 2
Para a velocidade, derivamos cada componente de . A derivada de é e a de é . Logo
A aceleração é a derivada de . A derivada de é e a de é . Assim,
Passo 3
A velocidade média entre s e s é
Como r(2)=(6,4) e r(1)=(3,3), temos
v=(3,,1)
A aceleração média é
a =v(2)-v(1)2-1
Com v(2)=(3,0) e v(1)=(3,2), vem
a=(0,,-2)
Passo 4
Para achar o instante de altura máxima, derivamos
y(t)=-t^2+4t
e igualamos a zero:
dydt=-2t+4=0 Longrightarrow t=2 s
Passo 5
A altura máxima é
y(2)=-4+8=4 m
Passo 6
O choque no solo ocorre quando
-t^2+4t=0 Longrightarrow t(t-4)=0
Desconsideramos t=0 e ficamos com t=4 s. A posição é
x(4)=3cdot4=12,
logo r(4)=(12,0).
Resposta
(a) v(t)=(3,,-2t+4), a(t)=(0,,-2).
(b) v=(3,,1), a=(0,,-2).
(c) t=2 s.
(d) ymax=4 m.
(e) t=4 s e r(4)=(12,,0).