1. Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(4 t,-t^3+6 t^2). Calcule:
    a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
    b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 s e t=2 s.
    c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
    d) A altura máxima alcançada ( y max ).
    e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bolinha no plano como
r(t)=l(4t,,-t^3+6t^2r)
em que t está em segundos e r em metros. O conteúdo envolve cálculo de derivadas para obter velocidade e aceleração, médias de variação, máximos locais de funções de uma variável e raízes de polinômios para achar o instante de impacto.

Passo 2

A velocidade v(t) é a derivada de r(t) em relação a t, e a aceleração a(t) é a derivada de v(t). Calculando as componentes:
v(t)=ddtl(4t,,-t^3+6t^2r) =(4,,-3t^2+12t),
a(t)=ddt(4,,-3t^2+12t) =(0,,-6t+12)

Passo 3

A velocidade média entre t=0 e t=2 é
vméd=r(2)-r(0)2-0 =l(8,,-8+24r)-(0,0)2 =(8,16)2=(4,8) é
A aceleração média é
améd=v(2)-v(0)2-0 =(4,12)-(4,0)2 =(0,12)2=(0,6) é

Passo 4

Para achar o instante em que a altura y(t)=-t^3+6t^2 é máxima, igualamos sua derivada a zero:
y'(t)=-3t^2+12t=-3t(t-4)=0
de onde t=0 ou t=4. O máximo não-trivial para t>0 ocorre em t=4.

Passo 5

A altura máxima é
y(4)=-4^3+6cdot4^2=-64+96=32

Passo 6

Para achar quando a bolinha bate no solo ( y=0), resolvemos
-t^3+6t^2=0implies -t^2(t-6)=0,
de modo que, além de t=0, há t=6. Em t=6, a posição é
r(6)=(4cdot6,;0)=(24,0)

Resposta

(a) v(t)=(4,-3t^2+12t) m/s e a(t)=(0,-6t+12) m/ s^2.
(b) vméd=(4,8)é m/s e améd=(0,6)é m/ s^2.
(c) t=4 s.
(d) ymax=32 m.
(e) Atinge o solo em t=6 s, em r(6)=(24,0) m.

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