- Uma bolinha move-se no plano e a sua posição (
em metros) em função do tempo (
em segundos) é descrita pela função vetorial
. Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
do
) para
.
d) A altura máxima alcançada (
).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
) e em que posição isso acontece.
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
d) A altura máxima alcançada (
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
Passo 1
O enunciado dá a posição da bolinha no plano como
em que
está em segundos e
em metros. O conteúdo envolve cálculo de derivadas para obter velocidade e aceleração, médias de variação, máximos locais de funções de uma variável e raízes de polinômios para achar o instante de impacto.
Passo 2
A velocidade
é a derivada de
em relação a
, e a aceleração
é a derivada de
. Calculando as componentes:
Passo 3
A velocidade média entre
e
é
A aceleração média é
Passo 4
Para achar o instante em que a altura
é máxima, igualamos sua derivada a zero:
de onde
ou
. O máximo não-trivial para
ocorre em
.
Passo 5
A altura máxima é
Passo 6
Para achar quando a bolinha bate no solo (
), resolvemos
de modo que, além de
, há
. Em
, a posição é
Resposta
(a)
m/s e
m/
.
(b) m/s e
m/
.
(c) s.
(d) m.
(e) Atinge o solo em s, em
m.
(b)
(c)
(d)
(e) Atinge o solo em