Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(2 y, x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1(x,y) = (2y,;x^2) ao mover o objeto de (0,0) até (1,1) seguindo o caminho y=x. Isso é um caso de integral de linha de um campo vetorial, cujo trabalho se calcula por
W = integralC F1cdot dr

Passo 2

Parametrizamos o traçado Ccolon y=x por
r(t) = (t,;t), tin[0,1],
pois em t=0 temos (0,0) e em t=1 temos (1,1).

Passo 3

Calculamos o vetor diferencial
drdt = (1,;1),
portanto
dr = (1,;1),dt

Passo 4

Substituímos r(t) em F1:
F1l(r(t)r) = l(2,y,,x^2r)|(x,y)=(t,t) = (2t,;t^2)

Passo 5

O produto escalar F1(r(t))cdot tfracdrdt é
(2t,;t^2)cdot(1,;1) = 2t + t^2
Logo o trabalho fica
W = integral0^1l(2t + t^2r),dt

Passo 6

Basta integrar:
integral0^12t,dt = l[t^2r]0^1 = 1, integral0^1t^2,dt = l[tfract^33r]0^1 = tfrac13
Somando,
W = 1 + tfrac13 = tfrac43

Resposta

W = tfrac43

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