- Uma bolinha move-se no plano e a sua posição (
em metros) em função do tempo (
em segundos) é descrita pela função vetorial
. Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
e
.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
do
) para
.
d) A altura máxima alcançada (
).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
) e em que posição isso acontece.
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
d) A altura máxima alcançada (
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
Passo 1
O enunciado dá a posição da bolinha no plano como
para
em segundos. Vamos usar derivação de funções vetoriais para achar velocidade
e aceleração
, depois calcular valores médios entre instantes, e finalmente resolver máximos e zeros de
.
Passo 2
Para obter a velocidade calculamos
. Derivando componente a componente:
Logo
A aceleração é
:
portanto
Passo 3
Para a velocidade média entre
e
usamos
Calculando
Para a aceleração média usamos
Como
e
, vem
Passo 4
A altura máxima ocorre quando
para
. Resolvendo
Para
temos
,s.
Passo 5
A altura máxima é
. Calculamos
Passo 6
O impacto com o solo ocorre quando
e
. Solução de
Desprezamos
, logo
,s. A posição é
isto é
.
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) ,s.
(d) ,m.
(e) ,s em
.
(b)
(c)
(d)
(e)