1. Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(4 t,-t^3 / 6+t^2). Calcule:
    a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
    b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=1 s e t=2 s.
    c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
    d) A altura máxima alcançada ( y max ).
    e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bolinha no plano como
r(t) = l(4t,,-tfract^36 + t^2r),
para t em segundos. Vamos usar derivação de funções vetoriais para achar velocidade v(t) e aceleração a(t), depois calcular valores médios entre instantes, e finalmente resolver máximos e zeros de y(t).

Passo 2

Para obter a velocidade calculamos v(t) = dfracdrdt. Derivando componente a componente:
vx(t) = ddt(4t) = 4, vy(t) = ddtl(-tfract^36 + t^2r) = -tfract^22 + 2t
Logo
v(t) = l(4,,-tfract^22 + 2tr)
A aceleração é a(t)=dfracdvdt:
ax(t) = 0, ay(t) = ddtl(-tfract^22 + 2tr) = -t + 2,
portanto
a(t) = l(0,,-t + 2r)

Passo 3

Para a velocidade média entre t=1 e t=2 usamos
barv = r(2)-r(1)2-1
Calculando
r(2) = l(8,,-tfrac86+4r) = l(8,tfrac83r), r(1) = l(4,,-tfrac16+1r) = l(4,tfrac56r),
barv = l(8-4,;tfrac83-tfrac56r) = l(4,;tfrac116r)
Para a aceleração média usamos
bara = v(2)-v(1)2-1
Como v(2)=(4,2) e v(1)=(4,3/2), vem
bara = l(0,;2-tfrac32r) = l(0,tfrac12r)

Passo 4

A altura máxima ocorre quando vy(t)=0 para t>0. Resolvendo
-t^22 + 2t = 0 ;Longrightarrow; tl(4 - tr)=0 ;Longrightarrow; t=0 ou t=4
Para t>0 temos t=4,s.

Passo 5

A altura máxima é y(4). Calculamos
y(4) = -tfrac4^36 + 4^2 = -tfrac646 + 16 = -tfrac323 + tfrac483 = tfrac163,m

Passo 6

O impacto com o solo ocorre quando y(t)=0 e t>0. Solução de
-t^36 + t^2 = 0 ;Longrightarrow; t^2l(1 - t6r)=0 ;Longrightarrow; t=0 ou t=6
Desprezamos t=0, logo t=6,s. A posição é
x(6)=4cdot6=24,, y(6)=0,
isto é (24,0).

Resposta

(a) v(t) = l(4,,-t^22 + 2tr),
a(t) = l(0,,-t + 2r).
(b) barv = l(4,116r),
bara = l(0,12r).
(c) tymax = 4,s.
(d) ymax = 163,m.
(e) timpact = 6,s em (24,0).

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