Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, colide com outro movendo-se para a esquerda, a 2 \mathrm{m} / \mathrm{s}\(. Ambos têm0,3 \mathrm{~kg}$ de massa. Calcular as velocidades finais
se a colisão for elástica.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as velocidades finais de dois bolinhos após uma colisão totalmente elástica. Dados fornecidos:
  • Massa do bolinho 1: m_1 = 0,3\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bolinho 2: m_2 = 0,3\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bolinho 1: v_1 = 5\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a direita).
  • Velocidade inicial do bolinho 2: v_2 = -2\\ \mathrm{m/s} (movendo-se para a esquerda; escolhemos eixo positivo para a direita, por isso sinal negativo).
  • Colisão: elástica (energia cinética e quantidade de movimento conservadas).
O que é pedido:
  • Calcular as velocidades finais v_1' e v_2' imediatamente após a colisão.

Passo 2

Escolhendo e explicando o sistema de referência: vou usar uma reta horizontal com sentido positivo para a direita. Assim números positivos significam “para a direita” e negativos “para a esquerda”. Já anotei as velocidades iniciais com esse sinal:
m_1 = 0,3\\ \mathrm{kg},\qquad m_2 = 0,3\\ \mathrm{kg},
v_1 = 5\\ \mathrm{m/s},\qquad v_2 = -2\\ \mathrm{m/s}.
Pode parecer óbvio, mas é importante — na prova sempre deixe claro o sinal das velocidades.

Passo 3

Conservação da quantidade de movimento (momentum): numa colisão isolada, a quantidade de movimento total antes e depois se conserva. A fórmula é
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.
Aqui:
  • m_1 e m_2 são as massas,
  • v_1 e v_2 são as velocidades antes da colisão,
  • v_1' e v_2' são as velocidades depois da colisão.
    Substituindo m_1=m_2=m (porque são iguais) a equação simplifica-se dividindo por m:
v_1 + v_2 = v_1' + v_2'.
Vou chamar esta equação de (1).

Passo 4

Conservação da energia cinética: para colisão elástica, a energia cinética total se conserva:
\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2.
Novamente, com m_1=m_2=m e multiplicando por 2/m, fica
v_1^2 + v_2^2 = v_1'^2 + v_2'^2.
Vou chamar esta equação de (2).

Passo 5

Agora vou manipular as equações (1) e (2) para obter relações lineares entre v_1' e v_2'. Primeiro observe que (2) pode ser reescrita como
(v_1^2 - v_1'^2) + (v_2^2 - v_2'^2) = 0.
Fatorando diferenças de quadrados:
(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') + (v_2 - v_2')(v_2 + v_2') = 0.
Da equação (1) temos v_1 - v_1' = v_2' - v_2. Substituindo isso na expressão acima:
(v_2' - v_2)(v_1 + v_1') + (v_2 - v_2')(v_2 + v_2') = 0.
Colocando em evidência (v_2' - v_2):
(v_2' - v_2)\bigl(v_1 + v_1' - v_2 - v_2'\bigr)=0.
A solução trivial v_2' = v_2 corresponderia a nenhum efeito da colisão (ou colisão degenerada); a solução não trivial é
v_1 + v_1' - v_2 - v_2' = 0.
Rearranjando,
(v_1 - v_2) + (v_1' - v_2') = 0,
ou seja
v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2).
Esta é a famosa relação para colisões elásticas: a velocidade relativa inverte de sinal. Vou chamar esta equação de (3).

Passo 6

Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (3):
\text{(1)}\quad v_1' + v_2' = v_1 + v_2,
\text{(3)}\quad v_1' - v_2' = -(v_1 - v_2).
Somando as duas equações:
2v_1' = (v_1 + v_2) - (v_1 - v_2) = 2v_2.
Logo
v_1' = v_2.
Subtraindo (3) de (1) ou resolvendo para v_2':
2v_2' = (v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 2v_1,
logo
v_2' = v_1.
Esse é um resultado intuitivo quando as massas são iguais: os dois corpos trocam velocidades na colisão elástica.

Passo 7

Aplicando aos valores numéricos conhecidos:
v_1' = v_2 = -2\\ \mathrm{m/s},
v_2' = v_1 = 5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: o bolinho que inicialmente ia para a direita com 5\\ \mathrm{m/s} sai agora para a direita com 5\\ \mathrm{m/s} trocando de lugar com o outro — na prática, cada um fica com a velocidade do outro; o sinal negativo de v_1' indica que o bolinho 1 agora se move para a esquerda.

Resposta

\;v_1' = -2\\ \mathrm{m/s}
\;v_2' = 5\\ \mathrm{m/s}

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