Um bolinho de massa movendo-se para a direita, a
, colide com outro movendo-se para a esquerda, a 2
0,3 \mathrm{~kg}$ de massa. Calcular as velocidades finais
se a colisão for elástica.)
se a colisão for elástica.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as velocidades finais de dois bolinhos após uma colisão totalmente elástica. Dados fornecidos:
- Massa do bolinho 1:
. - Massa do bolinho 2:
. - Velocidade inicial do bolinho 1:
(movendo-se para a direita). - Velocidade inicial do bolinho 2:
(movendo-se para a esquerda; escolhemos eixo positivo para a direita, por isso sinal negativo). - Colisão: elástica (energia cinética e quantidade de movimento conservadas).
O que é pedido:
- Calcular as velocidades finais
e imediatamente após a colisão.
Passo 2
Escolhendo e explicando o sistema de referência: vou usar uma reta horizontal com sentido positivo para a direita. Assim números positivos significam “para a direita” e negativos “para a esquerda”. Já anotei as velocidades iniciais com esse sinal:
Pode parecer óbvio, mas é importante — na prova sempre deixe claro o sinal das velocidades.
Passo 3
Conservação da quantidade de movimento (momentum): numa colisão isolada, a quantidade de movimento total antes e depois se conserva. A fórmula é
Aqui:
-
e são as massas, -
e são as velocidades antes da colisão, -
e são as velocidades depois da colisão.
Substituindo(porque são iguais) a equação simplifica-se dividindo por :
Vou chamar esta equação de (1).
Passo 4
Conservação da energia cinética: para colisão elástica, a energia cinética total se conserva:
Novamente, com
e multiplicando por
, fica
Vou chamar esta equação de (2).
Passo 5
Agora vou manipular as equações (1) e (2) para obter relações lineares entre
e
. Primeiro observe que (2) pode ser reescrita como
Fatorando diferenças de quadrados:
Da equação (1) temos
. Substituindo isso na expressão acima:
Colocando em evidência
:
A solução trivial
corresponderia a nenhum efeito da colisão (ou colisão degenerada); a solução não trivial é
Rearranjando,
ou seja
Esta é a famosa relação para colisões elásticas: a velocidade relativa inverte de sinal. Vou chamar esta equação de (3).
Passo 6
Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (3):
Somando as duas equações:
Logo
Subtraindo (3) de (1) ou resolvendo para
:
logo
Esse é um resultado intuitivo quando as massas são iguais: os dois corpos trocam velocidades na colisão elástica.
Passo 7
Aplicando aos valores numéricos conhecidos:
Interpretação física: o bolinho que inicialmente ia para a direita com
sai agora para a direita com
trocando de lugar com o outro — na prática, cada um fica com a velocidade do outro; o sinal negativo de
indica que o bolinho 1 agora se move para a esquerda.