Q25. Dois corpos, cada qual com 3 kg de massa, têm, respectivamente, as velocidades \vec{v}_{1}=(2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{i}}+(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{j}} e \vec{v}_{2}=(4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{i}}-(6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{j}}. Determinar a velocidade do centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade do centro de massa de dois corpos. Informações dadas:
m_1=3\\ \mathrm{kg},\qquad \vec{v}_1=(2\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\mathrm{i}}+(3\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\mathrm{j}},
m_2=3\\ \mathrm{kg},\qquad \vec{v}_2=(4\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\mathrm{i}}+(-6\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\mathrm{j}}.
Pergunta: qual é \vec{v}_{\text{CM}}, a velocidade do centro de massa?

Passo 2

Fórmula geral (a mais importante aqui): a velocidade do centro de massa é o momento linear total dividido pela massa total:
\vec{v}_{\text{CM}}=\frac{\sum_i m_i\vec{v}_i}{\sum_i m_i}.
Explicando os símbolos: \vec{v}_{\text{CM}} é o vetor velocidade do centro de massa; m_i é a massa do i-ésimo corpo; \vec{v}_i é a velocidade do i-ésimo corpo; o numerador \sum_i m_i\vec{v}_i é a soma vetorial dos momentos lineares de cada corpo; o denominador \sum_i m_i é a massa total do sistema.

Passo 3

Calcular o momento linear do corpo 1:
\vec{p}_1=m_1\vec{v}_1=3\bigl((2)\,\hat{\mathrm{i}}+(3)\,\hat{\mathrm{j}}\bigr).
Multiplicando componente a componente:
\vec{p}_1=(3\cdot 2)\,\hat{\mathrm{i}}+(3\cdot 3)\,\hat{\mathrm{j}}=6\,\hat{\mathrm{i}}+9\,\hat{\mathrm{j}}\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 4

Calcular o momento linear do corpo 2:
\vec{p}_2=m_2\vec{v}_2=3\bigl((4)\,\hat{\mathrm{i}}+(-6)\,\hat{\mathrm{j}}\bigr).
Multiplicando componente a componente:
\vec{p}_2=(3\cdot 4)\,\hat{\mathrm{i}}+(3\cdot(-6))\,\hat{\mathrm{j}}=12\,\hat{\mathrm{i}}-18\,\hat{\mathrm{j}}\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 5

Somar os momentos para obter o momento total:
\vec{P}=\vec{p}_1+\vec{p}_2=(6\,\hat{\mathrm{i}}+9\,\hat{\mathrm{j}})+(12\,\hat{\mathrm{i}}-18\,\hat{\mathrm{j}}).
Somando componente a componente:
\vec{P}=(6+12)\,\hat{\mathrm{i}}+(9-18)\,\hat{\mathrm{j}}=18\,\hat{\mathrm{i}}-9\,\hat{\mathrm{j}}\quad(\mathrm{kg\cdot m/s}).

Passo 6

Calcular a massa total:
M=m_1+m_2=3+3=6\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Dividir o momento total pela massa total para obter \vec{v}_{\text{CM}}:
\vec{v}_{\text{CM}}=\frac{\vec{P}}{M}=\frac{18\,\hat{\mathrm{i}}-9\,\hat{\mathrm{j}}}{6}.
Fazendo a divisão componente a componente:
\vec{v}_{\text{CM}}=\left(\frac{18}{6}\right)\hat{\mathrm{i}}+\left(\frac{-9}{6}\right)\hat{\mathrm{j}}=3\,\hat{\mathrm{i}}-1{,}5\,\hat{\mathrm{j}}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Observação útil (atalho): como as massas são iguais, a velocidade do centro de massa é simplesmente a média das velocidades:
\vec{v}_{\text{CM}}=\frac{\vec{v}_1+\vec{v}_2}{2}=\frac{(2+4)\,\hat{\mathrm{i}}+(3-6)\,\hat{\mathrm{j}}}{2}=3\,\hat{\mathrm{i}}-1{,}5\,\hat{\mathrm{j}}\\ \mathrm{m/s},
o que confirma o resultado. Continua firme — você já entendeu a ideia!

Resposta

\vec{v}_{\text{CM}}=3\,\hat{\mathrm{i}}-1{,}5\,\hat{\mathrm{j}}\\ \mathrm{m/s}

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