Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=x^2-x+3 na reta gerada por q(x)=2-2 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O ob serve que a melhor aproximação de x^2-x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-2 x é dada pela projeção ortogonal que você cal culou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 17 x^28-17 x8+518
(B) 19 x^28-19 x8+578
© 4-4 x
(D) 2 x^2-2 x+6
(E) 92-9 x2
(F) 174-17 x4
(G) 9 x^24-9 x4+274
(H) 194-19 x4
(I) Não sei

Passo 1

Estamos em P2 com produto interno definido por lang<= p,qrang<==integral0^1 p(x)q(x),dx. Queremos projetar ortogonalmente p(x)=x^2-x+3 na reta gerada por q(x)=2-2x, usando a fórmula projq(p)=lang<= p,qrang<=lang<= q,qrang<=,q.

Passo 2

Multiplicamos p(x) por q(x) e calculamos lang<= p,qrang<=:
p(x)q(x)=(x^2 - x +3)(2-2x)=-2x^3+4x^2-8x+6
lang<= p,qrang<==integral0^1(-2x^3+4x^2-8x+6),dx=-tfrac12+tfrac43-4+6=tfrac176

Passo 3

Calculamos lang<= q,qrang<=:
lang<= q,qrang<==integral0^1(2-2x)^2,dx=integral0^1(4-8x+4x^2),dx=4-4+tfrac43=tfrac43

Passo 4

O coeficiente da projeção é
lang<= p,qrang<=lang<= q,qrang<==17/64/3=178
Logo a projeção é
178,(2-2x)=174-17x4

Resposta

174-17x4

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