Uma bolsa a 2,14 m do centro e uma carteira a 2,56 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrosel. Os dois objetos estão na mesma linha radial. Em um dado instante, a aceleração da bolsa é (2,83 m / s^2) imath+(4,43 m / s^2) jmath. Qual é - módulo da aceleração da carteira nesse instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Temos uma bolsa a 2,14 m do centro e uma carteira a 2,56 m do centro, alinhadas na mesma linha radial. Foi dada a aceleração da bolsa e precisamos encontrar o módulo da aceleração da carteira nesse mesmo instante. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento circular e como a aceleração centrípeta depende do raio da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta ( ac) é responsável por manter o objeto na trajetória circular. Ela é calculada pela fórmula:
ac = v^2r
onde v é a velocidade tangencial e r é o raio da trajetória.

Passo 3

Outra forma de expressar a aceleração centrípeta é usando a velocidade angular ( omega):
ac = omega^2 r
Essa fórmula mostra que a aceleração centrípeta é diretamente proporcional ao raio da trajetória quando a velocidade angular é constante, como no movimento circular uniforme.

Passo 4

No nosso problema, tanto a bolsa quanto a carteira estão no mesmo movimento circular uniforme, então elas compartilham a mesma velocidade angular ( omega). Isso significa que a aceleração centrípeta da carteira ( acarteira) está relacionada à aceleração centrípeta da bolsa ( abolsa) pela relação dos seus raios:
acarteiraabolsa = rcarteirarbolsa

Passo 5

Vamos isolar acarteira na equação:
acarteira = abolsa times rcarteirarbolsa
Agora, precisamos encontrar o módulo da aceleração da bolsa ( abolsa). A aceleração da bolsa é dada pelo vetor abolsa = (2,83 , m/s^2)imath + (4,43 , m/s^2)jmath.

Passo 6

Para encontrar o módulo da aceleração da bolsa, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|a| = raizax^2 + ay^2
Substituindo os valores:
|abolsa| = raiz(2,83)^2 + (4,43)^2
Calculando:
|abolsa| = raiz8,0089 + 19,6249 approx raiz27,6338 approx 5,25 , m/s^2

Passo 7

Agora, aplicamos a relação entre as acelerações e os raios:
acarteira = 5,25 , m/s^2 times 2,56 , m2,14 , m
Calculando a fração:
2,562,14 approx 1,196
Então:
acarteira = 5,25 times 1,196 approx 6,27 , m/s^2

Resposta

O módulo da aceleração da carteira nesse instante é aproximadamente 6,27 m/s².

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