Um bom vácuo, produzido com aparelhos comuns de laboratório, corresponde a 10^{-6} mm de Hg de pressão a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o número de moléculas por \mathrm{cm}^{3} nessas condições.

Passo 1

O enunciado pede o número de moléculas por \mathrm{cm}^{3} num vácuo cuja pressão é 10^{-6} mm de Hg à temperatura 25^{\circ}\mathrm{C}.
Informações fornecidas:
  • Pressão: p = 10^{-6}\\ \text{mm Hg}.
  • Temperatura: 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Quer-se: número de moléculas por \mathrm{cm}^{3} nessas condições.

Passo 2

Qual é a relação física que vamos usar? Para ligar pressão, temperatura e número de moléculas usamos a forma molecular da equação dos gases ideais:
pV = N k T
onde:
  • p é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^{3}),
  • N é o número de moléculas no volume V,
  • k é a constante de Boltzmann ( k\approx 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
Queremos a densidade numérica (número de moléculas por volume), definida por n = N/V. Isolando n obtemos a forma prática:
n = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}.
Então basta calcular p/(kT) e converter para \mathrm{cm}^{-3}.

Passo 3

Converter a pressão de \text{mm Hg} para pascal. A relação conhecida é 1\\ \text{mm Hg} = 133{,}322\\ \mathrm{Pa}. Como o enunciado deu 10^{-6}\\ \text{mm Hg},
p = 10^{-6}\times133{,}322\\ \mathrm{Pa} = 1{,}33322\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Converter a temperatura para kelvin. A relação é T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15. Então,
T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular kT com k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}:
kT = \left(1{,}380649\times10^{-23}\right)\times298{,}15 \approx 4{,}1164\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
(Detalhe: aqui o produto tem unidades de energia; em unidades SI \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=\mathrm{J}, então a divisão p/(kT) fica com unidade \mathrm{m}^{-3}.)

Passo 6

Calcular a densidade numérica em \mathrm{m}^{-3}:
n = \frac{p}{kT} = \frac{1{,}33322\times10^{-4}}{4{,}1164\times10^{-21}}\approx 3{,}2385\times10^{16}\\ \mathrm{m}^{-3}.

Passo 7

Converter de \mathrm{m}^{-3} para \mathrm{cm}^{-3}. Como 1\\ \mathrm{m}^{3} = (100\\ \mathrm{cm})^{3} = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^{3}, divide-se por 10^{6}:
n_{\mathrm{cm}^{-3}} = \frac{3{,}2385\times10^{16}}{10^{6}} = 3{,}2385\times10^{10}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Arredondando a um número com três algarismos significativos:
n_{\mathrm{cm}^{-3}}\approx 3{,}24\times10^{10}\\ \text{moléculas cm}^{-3}.é

Passo 8

Comentário encorajador rápido: esse valor significa que, mesmo num “bom vácuo” de 10^{-6}\\ \text{mm Hg}, ainda existem dezenas de bilhões de moléculas por centímetro cúbico — por isso vácuos realmente extremos exigem bombas e técnicas muito sofisticadas.

Resposta

3{,}24\times10^{10}\\ \text{moléculas cm}^{-3}é

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