1. (2 pontos) Determine a potência absorvida (CV, HP, e kW) pela bomba centrífuga, considerando um rendimento médio da bomba de 50 \%. Aplique o Teorema da mecânica de máquina de fluxo com o Teorema de Bernoulli e a Equação da Potência. Considere a pressão no manômetro metálico igual a 5 \mathrm{~kg} \mathrm{~cm}^{-2}, desnível Z=48,5 \mathrm{~cm}, diâmetro no recalque igual a 50 mm , pressão no vacuômetro igual a 195 mmcHg , desnível B=50,2 \mathrm{~cm}, diâmetro de sucção igual a 75 mm . Considere a vazão igual a 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Determinar a potência absorvida pela bomba centrífuga nas três unidades pedidas: \mathrm{CV} (cavalo-vapor métrico), \mathrm{HP} (horsepower inglês) e \mathrm{kW}, considerando rendimento médio da bomba de 50\%.
Informações fornecidas (peguei os valores na figura/enunciado):
  • Pressão no manômetro metálico (lado de recalque): \;5\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Pressão no vacuômetro (lado de sucção): \;195\\ \mathrm{mmHg} (vacuo, ou seja pressão abaixo da atmosférica).
  • Desnível no recalque: \;Z=48,5\\ \mathrm{cm}.
  • Desnível no sistema de sucção: \;B=50,2\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro no recalque: \;D_2=50\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro na sucção: \;D_1=75\\ \mathrm{mm}.
  • Vazão: \;Q=30\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Rendimento da bomba: \;\eta=50\%=0,50.
Observação importante sobre a geometria: a partir da figura assumi que as elevações relativas podem ser tratadas com z_2=+Z e z_1=-B (ou seja, a diferença de cota entre ponto de recalque e ponto de sucção é z_2-z_1=Z+B). Se a interpretação geométrica fosse outra, a diferença de altura deveria ser ajustada — aqui usei Z+B conforme a leitura típica da figura.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A energia específica por unidade de peso em um ponto de um escoamento é dada por \frac{p}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z, onde:
    • p é a pressão absoluta naquele ponto (em Pa),
    • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
    • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
    • V é a velocidade média do fluido na seção ( \mathrm{m/s}),
    • z é a cota (altura) do ponto ( \mathrm{m}).
  • O Teorema da máquina (bomba) diz que a bomba adiciona a diferença dessas energias entre saída (2) e entrada (1). Ignorando perdas por atrito (não fornecidas), a altura fornecida pela bomba (carga hidráulica) é:
H = \frac{p_2-p_1}{\rho g} + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2g} + (z_2-z_1).
  • A potência hidráulica (útil) fornecida pela bomba é:
P_{hid} = \rho g Q H,
onde Q é a vazão em \mathrm{m^3/s}.
  • A potência absorvida pela bomba (potência na árvore que a bomba precisa receber) considerando o rendimento \eta é:
P_{abs} = \frac{P_{hid}}{\eta}.
  • Conversões de unidades finais:
    • 1\\ \mathrm{CV}=735,49875\\ \mathrm{W},
    • 1\\ \mathrm{HP}=745,699872\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Conversões e valores numéricos iniciais (cada número matemático em TeX):
  • Vazão:
Q = 30\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{30}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,008333\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetros e áreas:
D_1 = 75\\ \mathrm{mm} = 0,075\\ \mathrm{m},\qquad D_2 = 50\\ \mathrm{mm} = 0,050\\ \mathrm{m}.
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0,075)^2}{4} = 0,004418\\ \mathrm{m^2}.
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0,050)^2}{4} = 0,001963\\ \mathrm{m^2}.
  • Densidade da água e gravidade (valores usuais):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Velocidades médias nas seções (ensinando como calcular velocidade a partir da vazão):
  • A velocidade média é V=Q/A. Então:
V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0,008333}{0,004418} = 1,887\\ \mathrm{m/s}.
V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0,008333}{0,001963} = 4,244\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a mesma vazão em seção menor gera velocidade maior — isso aparece no termo cinético do Bernoulli.

Passo 5

Conversão das pressões fornecidas para pascal (usando que 1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa} e p=\rho_{Hg} g h para mmHg):
  • Pressão no recalque (manômetro metálico), assumida como pressão relativa (gauge):
p_2 = 5\\ \mathrm{kgf/cm^2} = 5\times 98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa} = 490\,332{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão no vacuômetro: leitura de 195\\ \mathrm{mmHg} significa que a pressão do fluido está abaixo da atmosférica em uma coluna de mercúrio de 0,195\\ \mathrm{m}. Usando \rho_{Hg}\approx 13\,595\\ \mathrm{kg/m^3}:
\Delta p = \rho_{Hg} g h = 13\,595\times 9,81\times 0,195 \approx 26\,003\\ \mathrm{Pa}.
Como é vácuo no vacuômetro, a pressão gauge na sucção é negativa:
p_1 = -26\,003\\ \mathrm{Pa}.
(A pressão atmosférica cancela se usarmos pressões gauge nas diferenças, então esta forma é válida.)

Passo 6

Cálculo do termo de pressão dividido por \rho g (carga de pressão):
\frac{p_2-p_1}{\rho g} = \frac{490\,332{,}5 - (-26\,003)}{1000\times 9,81} = \frac{516\,335{,}5}{9\,810} \approx 52,64\\ \mathrm{m}.
Explicação: esse termo é a contribuição da diferença de pressão para a carga hidráulica, expressa em metros de coluna de água.

Passo 7

Cálculo do termo cinético (diferença de velocidades):
\frac{V_2^2 - V_1^2}{2g} = \frac{(4,244)^2 - (1,887)^2}{2\times 9,81} = \frac{18,01 - 3,561}{19,62} = \frac{14,449}{19,62} \approx 0,737\\ \mathrm{m}.
Comentário: esse termo é pequeno comparado ao termo de pressão, mas não se pode ignorar automaticamente; sempre verifique.

Passo 8

Cálculo da diferença de cotas z_2-z_1:
  • Pelo enunciado e desenho assumi z_2-z_1 = Z + B com Z=0,485\\ \mathrm{m} e B=0,502\\ \mathrm{m}:
z_2-z_1 = Z + B = 0,485 + 0,502 = 0,987\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Somando todas as contribuições para obter a carga hidráulica H:
H = 52,64 + 0,737 + 0,987 = 54,36\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bomba está impondo aproximadamente 54{,}36\\ \mathrm{m} de coluna de água entre sucção e recalque, considerando as pressões e velocidades dadas.

Passo 10

Cálculo da potência hidráulica P_{hid}:
P_{hid} = \rho g Q H = 1000\times 9{,}81 \times 0,008333 \times 54{,}36.
Para facilitar a conta: 1000\times 9{,}81 \times 0,008333 = 81{,}75\\ \mathrm{(aprox)}. Então
P_{hid} \approx 81{,}75 \times 54{,}36 \approx 4\,444{,}3\\ \mathrm{W} = 4{,}444\\ \mathrm{kW}.
Explicação: esta é a potência efetivamente entregue ao fluido pela bomba (hidráulica).

Passo 11

Cálculo da potência absorvida pela bomba P_{abs} considerando rendimento \eta=0,50:
P_{abs} = \frac{P_{hid}}{\eta} = \frac{4\,444{,}3\\ \mathrm{W}}{0,50} = 8\,888{,}6\\ \mathrm{W} = 8{,}889\\ \mathrm{kW}.

Passo 12

Conversões finais para \mathrm{CV} e \mathrm{HP}:
P_{abs\\ (CV)} = \frac{8\,888{,}6}{735{,}49875} \approx 12{,}09\\ \mathrm{CV}.
P_{abs\\ (HP)} = \frac{8\,888{,}6}{745{,}699872} \approx 11{,}92\\ \mathrm{HP}.

Resposta

12{,}09\\ \mathrm{CV}
11{,}92\\ \mathrm{HP}
8{,}89\\ \mathrm{kW}

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