Uma bomba de calor fornece 20 kJ de energia para aquecer uma casa. A temperatura externa é de 263 K e a interna de 313 K. (a) Qual o coeficiente de desempenho da bomba (refrigerador) de Carnot operando entre estas temperaturas? (b) Qual a potência mínima que deve ter um motor para acionar a bomba? © se o coeficiente da bomba for
do coeficiente de uma bomba ideal, qual a potência mínima necessária operar a máquina (ou, seja o refrigerador)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre bomba de calor, que faz parte do estudo de termodinâmica. A gente vai precisar entender o coeficiente de desempenho (COP) de uma bomba de calor de Carnot e como calcular a potência mínima necessária para operá-la. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a bomba de calor está fazendo aqui. Ela está fornecendo 20 kJ de energia para aquecer a casa. As temperaturas envolvidas são 263 K (externa) e 313 K (interna). O coeficiente de desempenho (COP) da bomba de calor de Carnot é uma medida de eficiência, ou seja, quanto de energia útil a bomba fornece em relação ao que ela consome.
Passo 3
Para calcular o COP de uma bomba de calor de Carnot, usamos a fórmula:
Onde:
- $ T_{quente} $ é a temperatura interna (313 K)
- $ T_{fria} $ é a temperatura externa (263 K)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o COP da bomba de calor de Carnot é 6,26.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): qual a potência mínima que um motor precisa ter para acionar a bomba? Sabemos que a bomba fornece 20 kJ de energia. Usamos a relação entre potência, energia e tempo.
A potência ($ P
Q
t $):
Mas como não foi dado um tempo específico, assumimos que queremos a potência mínima, que está relacionada ao COP e à energia fornecida.
Sabemos que:
Onde $ W $ é o trabalho realizado (ou potência do motor).
Rearranjando para encontrar $ W $:
Passo 6
Substituindo os valores:
Se considerarmos que esse é o trabalho realizado em um certo tempo, a potência dependerá desse tempo. Mas, para simplificar, estamos assumindo que essa é a energia mínima necessária.
Passo 7
Finalmente, a parte ©: se o coeficiente da bomba for 60% do coeficiente ideal, qual a potência mínima necessária?
Primeiro, calculamos 60% do COP ideal:
Passo 8
Usamos novamente a fórmula do trabalho:
Resposta
(a) O coeficiente de desempenho da bomba de calor de Carnot é 6,26.
(b) A potência mínima que o motor deve ter para acionar a bomba é aproximadamente 3,2 kJ.
© Considerando que o coeficiente da bomba é 60% do ideal, a potência mínima necessária para operar a máquina é aproximadamente 5,33 kJ.