Dois corpos idênticos com capacidades térmicas constantes estão inicialmente nas temperaturas T1 e T2 (T1>T2). Estes corpos são usados como fontes térmicas de uma máquina de Carnot (não há outras fontes disponíveis). Mostre que a temperatura final comum T de equilíbrio, quando todo o trabalho possível for retirado do sistema, é T=raizT1 T2. Qual é o trabalho máximo obtido?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado com calma. Temos dois corpos idênticos, cada um com capacidade térmica constante (vamos chamar essa capacidade de C), um inicialmente em temperatura T1 e outro em T2, com T1>T2. Eles são conectados a uma máquina de Carnot que vai extrair todo o trabalho possível até os dois chegarem a uma mesma temperatura final T. O objetivo é (1) mostrar que essa temperatura de equilíbrio é
T = raizT1T2,,
e (2) calcular o trabalho máximo extraído.
Para isso a gente vai usar dois pilares da termodinâmica:
– Primeiro Princípio (conservação de energia)
– Segundo Princípio (na forma de variação total de entropia nula, pois o processo é reversível)

Passo 2

Teoria da entropia e processo reversível:
Num processo totalmente reversível, a variação total de entropia do conjunto (ambos os corpos) é zero:
De
Para cada corpo com capacidade térmica constante C, a entropia varia assim quando ele muda de temperatura de Trm i para Trm f:
De

Passo 3

Aplicando a condição De:
– Corpo quente: sai de T1 e vai para T. Então
De
– Corpo frio: sai de T2 e vai para T. Então
De
Somando e exigindo ser zero:
C,ln!l(tfracTT1r) ;+; C,ln!l(tfracTT2r) = 0 ;;Longrightarrow;; ln!l(tfracTT1cdottfracTT2r)=0 ;;Longrightarrow;;ln!l(tfracT^2T1T2r)=0

Passo 4

Da equação
ln!l(tfracT^2T1T2r)=0
vem
$$\frac{T^{2}}{T_{1}T_{2}} = 1
 \quad\Longrightarrow\quad  
 T^{2} = T_{1}T_{2}  
 \quad\Longrightarrow\quad  
 T = \sqrt{T_{1}T_{2}}\,. $$

Passo 5

Agora o trabalho máximo. A gente usa o Primeiro Princípio aplicado aos dois corpos juntos, dizendo que a energia interna extraída vira trabalho (não há trocas de calor com nada além dos corpos):
– Energia inicial total: Urm i=C,T1 + C,T2.
– Energia final total: Urm f=C,T + C,T = 2C,T.
– Trabalho extraído Wmax = Urm i - Urm f.
Logo
$$W_{\max} = C,T_{1} + C,T_{2} ;-; 2C,T
 = C\bigl(T_{1}+T_{2} -2T\bigr)\,. $$  
E como já achamos Wmax = C,T1 + C,T2 ;-; 2C,T = Cl(T1+T2 -2Tr), , substituímos:

Resposta

Temperatura de equilíbrio:
T = raizT1,T2,
Trabalho máximo extraído:
Wmax = Cl(T1 + T2 - 2raizT1T2r),

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