Dois corpos idênticos com capacidades térmicas constantes estão inicialmente nas temperaturas
e
. Estes corpos são usados como fontes térmicas de uma máquina de Carnot (não há outras fontes disponíveis). Mostre que a temperatura final comum
de equilíbrio, quando todo o trabalho possível for retirado do sistema, é
. Qual é o trabalho máximo obtido?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado com calma. Temos dois corpos idênticos, cada um com capacidade térmica constante (vamos chamar essa capacidade de
), um inicialmente em temperatura
e outro em
, com
. Eles são conectados a uma máquina de Carnot que vai extrair todo o trabalho possível até os dois chegarem a uma mesma temperatura final
. O objetivo é (1) mostrar que essa temperatura de equilíbrio é
e (2) calcular o trabalho máximo extraído.
Para isso a gente vai usar dois pilares da termodinâmica:
– Primeiro Princípio (conservação de energia)
– Segundo Princípio (na forma de variação total de entropia nula, pois o processo é reversível)
Passo 2
Teoria da entropia e processo reversível:
Num processo totalmente reversível, a variação total de entropia do conjunto (ambos os corpos) é zero:
Num processo totalmente reversível, a variação total de entropia do conjunto (ambos os corpos) é zero:
Para cada corpo com capacidade térmica constante
Passo 3
Aplicando a condição
:
– Corpo quente: sai de e vai para
. Então
– Corpo quente: sai de
– Corpo frio: sai de
Somando e exigindo ser zero:
Passo 4
Da equação
vem
$$\frac{T^{2}}{T_{1}T_{2}} = 1
\quad\Longrightarrow\quad
T^{2} = T_{1}T_{2}
\quad\Longrightarrow\quad
T = \sqrt{T_{1}T_{2}}\,. $$
Passo 5
Agora o trabalho máximo. A gente usa o Primeiro Princípio aplicado aos dois corpos juntos, dizendo que a energia interna extraída vira trabalho (não há trocas de calor com nada além dos corpos):
– Energia inicial total: .
– Energia final total: .
– Trabalho extraído .
Logo
– Energia inicial total:
– Energia final total:
– Trabalho extraído
Logo
$$W_{\max} = C,T_{1} + C,T_{2} ;-; 2C,T
= C\bigl(T_{1}+T_{2} -2T\bigr)\,. $$
E como já achamos
, substituímos:
Resposta
Temperatura de equilíbrio:
Trabalho máximo extraído: