Uma bomba centrífuga é acionada por um motor que gira a 1800 rpm e fornece 3 \mathrm{~L} / \mathrm{s} quando a carga manométrica é 18 m . Determinar suas características quando o motor gira a 1500 rpm .
Números adimensionais característicos:
\begin{gathered} \emptyset=\frac{Q}{n D^{3}} \rightarrow \text { Coeficiente de vazão } \\\ \varphi=\frac{g H_{B}}{n^{2} D^{2}} \rightarrow \text { Coeficiente manométrico } \end{gathered}ãé

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as características da bomba a uma nova velocidade:
Dado:
n_1 = 1800\\ \mathrm{rpm}
Q_1 = 3\\ \mathrm{L/s}
H_1 = 18\\ \mathrm{m}
n_2 = 1500\\ \mathrm{rpm}
Também são fornecidas as definições dos números adimensionais:
\emptyset=\frac{Q}{n D^{3}}
\varphi=\frac{g H_{B}}{n^{2} D^{2}}
O que se pede:
  • Determinar as características da bomba (vazão Q e carga manométrica H) quando a velocidade do motor passa de 1800\\ \mathrm{rpm} para 1500\\ \mathrm{rpm}.

Passo 2

Entendendo as grandezas e as definições (aula rápida e clara):
  • Q é a vazão volumétrica (unidade usada: \mathrm{L/s} ou \mathrm{m^3/s}).
  • n é a rotação (unidade: \mathrm{rpm}, mas nas razões de velocidades usamos diretamente a razão entre as rotações).
  • D é o diâmetro característico da bomba (mesmo para ambos os casos, pois é a mesma bomba).
  • g é a aceleração da gravidade (constante), e H_B é a carga manométrica (em metros).
As definições dadas são números adimensionais. Para uma mesma bomba (geometricamente idêntica) operando em regimes dinâmicos semelhantes, esses números adimensionais permanecem iguais quando mudamos só a rotação. Ou seja:
\emptyset_1=\emptyset_2 \qquad\text{e}\qquad \varphi_1=\varphi_2.
Isso é a base das chamadas leis de afinidade (affinity laws) para bombas centrífugas.

Passo 3

Derivando as leis de escala a partir da invariância dos números adimensionais (mostrando cada passo):
Da invariância de \emptyset:
\frac{Q_1}{n_1 D^3}=\frac{Q_2}{n_2 D^3}.
Cancelando D^3 (mesma bomba) segue:
Q_2 = Q_1 \frac{n_2}{n_1}.
Explicação: se o tamanho não muda, a vazão escala proporcionalmente à rotação.
Da invariância de \varphi:
\frac{g H_1}{n_1^2 D^2}=\frac{g H_2}{n_2^2 D^2}.
Cancelando g e D^2 obtemos:
H_2 = H_1 \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2.
Explicação: a carga (altura) fornecida pela bomba escala com o quadrado da rotação.
(Observação extra que ajuda na prova: a potência hidráulica escala como n^3, mas não precisamos disso aqui.)

Passo 4

Preparando os cálculos numéricos: razão entre rotações e conversão de unidades para clareza.
Razão entre rotações:
\frac{n_2}{n_1}=\frac{1500}{1800}=\frac{5}{6}.
Conversão (só para mostrar, podemos trabalhar com \mathrm{L/s} diretamente):
Q_1=3\\ \mathrm{L/s}=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Cálculo da nova vazão usando Q_2 = Q_1 \dfrac{n_2}{n_1}:
Q_2 = 3\\ \mathrm{L/s}\times \frac{5}{6}=3\times\frac{5}{6}\\ \mathrm{L/s}.
Fazendo a multiplicação:
3\times\frac{5}{6}= \frac{15}{6}=2{,}5.
Logo:
Q_2 = 2{,}5\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Cálculo da nova carga manométrica usando H_2 = H_1 \left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2:
H_2 = 18\\ \mathrm{m}\times\left(\frac{5}{6}\right)^2.
Calculando o quadrado e a multiplicação:
\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36},
18\times\frac{25}{36}=\frac{18\cdot25}{36}=\frac{450}{36}=12{,}5.
Logo:
H_2 = 12{,}5\\ \mathrm{m}.

Resposta

Q_2 = 2{,}5\\ \mathrm{L/s}
H_2 = 12{,}5\\ \mathrm{m}

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