No escoamento de gasóleo de 40,6^{\circ} \mathrm{API}, de viscosidade cinemática igual a 5,35 \mathrm{~mm}^{2} / \mathrm{s}(5,35 \mathrm{cSt}) a 40^{\circ} \mathrm{C} (temperatura de escoamento) e vazão de 477 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{d} (medidos a 20^{\circ} \mathrm{C} ) através de uma tubulação de aço comercial de diâmetro nominal 4 in sch 40, calcular para cada 100 m de tubulação:
a) Perda de carga em metros de óleo
b) A queda de pressão em Pascal.
OBS: Na indústria do petróleo, os liquidos têm outra medida de densidade, chamada { }^{\circ} \mathrm{API}, cuja a relação com a densidade relativa é:
\mathrm{d}=\frac{141,5}{131,5+{ }^{\circ} \mathrm{API}}

Passo 1

O enunciado pede, para cada 100\\ \mathrm{m} de tubulação, calcular:
a) a perda de carga expressa em metros de óleo;
b) a queda de pressão expressa em Pascal.
Dados fornecidos:
{}^{\circ}\mathrm{API}=40,6
\nu(40^\circ\mathrm{C})=5,35\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}
Q_{20^\circ\mathrm{C}}=477\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{d}
tubulação: diâmetro nominal 4\\ \mathrm{in} Sch 40 (vamos usar as dimensões padrão da tabela Sch 40 para 4'').
Observação necessária (assunção): o enunciado não deu a dimensão interna da tubulação; eu usei a dimensão padrão para tubo comercial 4'' Schedule 40: diâmetro externo 4,5\\ \mathrm{in} e espessura de parede 0,237\\ \mathrm{in}. Vou explicar e usar esses valores na resolução.

Passo 2

Converter a densidade relativa (gravidade específica) a partir do {}^{\circ}\mathrm{API} usando a fórmula dada e obter a massa específica aproximada do óleo (assumo água =1000\\ \mathrm{kg/m}^3 como referência):
d=\frac{141,5}{131,5+{}^{\circ}\mathrm{API}}
Substituindo {}^{\circ}\mathrm{API}=40,6:
d=\frac{141,5}{131,5+40,6}=\frac{141,5}{172,1}=0,8224
A massa específica aproximada será
\rho = d\cdot 1000 = 0,8224\cdot 1000 = 822,4\\ \mathrm{kg/m}^3.
Comentário didático curto: d é a densidade relativa (relação entre a densidade do óleo e a densidade da água na referência) — usamos isso para transformar API em \rho.

Passo 3

Determinar o diâmetro interno da tubulação (usar tabela Sch 40 para 4''):
valores padrão: diâmetro externo =4,5\\ \mathrm{in}=0,1143\\ \mathrm{m}; espessura de parede t=0,237\\ \mathrm{in}=0,0060198\\ \mathrm{m}. Logo o diâmetro interno D é
D = \text{OD} - 2t = 0,1143 - 2\cdot 0,0060198 = 0,10226\\ \mathrm{m}.
Obs.: declarei explicitamente que peguei estes valores das tabelas padrão de tubos Sch 40.

Passo 4

Converter a vazão volumétrica para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, calcular a área interna da tubulação e a velocidade média do fluido.
Converter Q:
Q=\frac{477\\ \mathrm{m}^3}{\mathrm{d}}=\frac{477}{86400}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=0,00552315\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Área da seção interna:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,10226)^2}{4}=0,0082139\\ \mathrm{m}^2.
Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,00552315}{0,0082139}=0,67245\\ \mathrm{m/s}.
Didática: a velocidade média é o fluxo volumétrico dividido pela área; isto é o que determina o regime de escoamento (Reynolds).

Passo 5

Converter viscosidade cinemática para unidades SI e calcular o número de Reynolds para identificar o regime de escoamento.
Converter \nu:
\nu=5,35\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}=5,35\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}=\frac{0,67245\cdot 0,10226}{5,35\times 10^{-6}}=1,2849\times 10^4.
Interpretação: se \mathrm{Re}\lesssim 2300 o escoamento é laminar, se \mathrm{Re}\gtrsim 4000 é turbulento; aqui \mathrm{Re}\approx 1,28\times 10^4 indica escoamento turbulento (regime turbulento suave).

Passo 6

Escolher método para obter o fator de atrito f. Explicação didática curta: para escoamento turbulento em tubos rugosos usa-se a equação de Colebrook (implícita) ou uma aproximação explícita como Haaland. Vou usar a fórmula de Haaland (fácil e precisa) e a rugosidade típica do aço comercial \epsilon\approx 0,045\\ \mathrm{mm}=4,5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Fórmula de Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\right].
Calcule \epsilon/D:
\frac{\epsilon}{D}=\frac{4{,}5\times 10^{-5}}{0,10226}=4,401\times 10^{-4}.
Calcular o termo dentro do logaritmo (faço passo a passo numericamente):
\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}=\left(\frac{4,401\times 10^{-4}}{3{,}7}\right)^{1{,}11}=4,41\times 10^{-5}
\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}=\frac{6{,}9}{1,2849\times 10^{4}}=5,371\times 10^{-4}
soma:
\text{soma}=4,41\times 10^{-5}+5,371\times 10^{-4}=5,812\times 10^{-4}.
Aplicando Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-1{,}8\log_{10}(5,812\times 10^{-4})=5{,}8235
\sqrt{f}=\frac{1}{5{,}8235}=0{,}17172\quad\Rightarrow\quad f=(0{,}17172)^2=0{,}0295.
Comentário: resultado consistente com a aproximação de Blasius para turbulência suave; f\approx 0,0295.

Passo 7

Usar a equação de Darcy–Weisbach para calcular a perda de carga em termos de altura de coluna de óleo (metros de óleo). Fórmula:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}.
Aqui L=100\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2. Calcule os termos:
\frac{L}{D}=\frac{100}{0,10226}=977{,}97,
\frac{v^2}{2g}=\frac{(0,67245)^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{0,45218}{19{,}62}=0,023061\\ \mathrm{m}.
Portanto
h_f = 0,0295\cdot 977{,}97\cdot 0,023061 = 0,6647\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente: h_f\approx 0,665\\ \mathrm{m} de óleo por 100\\ \mathrm{m} de tubulação.
Didática: h_f é a energia perdida por unidade de peso do fluido; quando expressa em metros, já é independente da densidade (é uma altura de coluna do próprio fluido).

Passo 8

Converter a perda de carga em queda de pressão \Delta p em Pascal usando \Delta p=\rho g h_f.
Calcule:
\Delta p = \rho g h_f = 822{,}4\cdot 9{,}81\cdot 0,6647 = 5{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Valor numérico aproximado: \Delta p\approx 5{,}36\\ \mathrm{kPa} por 100\\ \mathrm{m}.
Comentário: alternativa direta (mesma equação, forma dinâmica) é \Delta p = f\frac{L}{D}\frac{\rho v^2}{2} — chega ao mesmo resultado.

Passo 9

Resumo dos valores calculados e observações finais:
  • Perda de carga em metros de óleo por 100\\ \mathrm{m}: h_f\approx 0,665\\ \mathrm{m}.
  • Queda de pressão por 100\\ \mathrm{m}: \Delta p\approx 5{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Observações importantes para a prova (dicas rápidas): sempre converter unidades para SI, calcular Re para decidir o método de f, conhecer a forma da equação de Darcy–Weisbach e as aproximações para f (Colebrook/Haaland/Blasius). Se faltar a rugosidade, usar um valor típico para aço comercial \epsilon\approx 0,045\\ \mathrm{mm} e declarar isso.

Resposta

(a) h_f=0,665\\ \mathrm{m}
(b) \Delta p=5{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados