Quer-se determinar a força de arrasto que age em um sonar de um submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala
. Os testes são realizados em água a
, a uma velocidade de
, e a força de arrasto medida é de 30 N . Sabendo que o protótipo será utilizado em água a
, calcular a velocidade do submarino em condições de semelhança completa e, nessas condições, determinar a força de arrasto correspondente.
Passo 1
Entender claramente o enunciado e listar os dados fornecidos.
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a velocidade do protótipo (submarino) para haver semelhança completa entre modelo e protótipo.
- Nessa mesma condição de semelhança completa, determinar a força de arrasto no protótipo.
-
Dados fornecidos:
- Escala do modelo:
. Logo, se é o comprimento do protótipo, o comprimento do modelo é . - Velocidade do modelo:
. - Força de arrasto medida no modelo:
. - Temperatura da água no ensaio do modelo:
. - Temperatura da água no serviço do protótipo:
. - Fórmula dada (para o número de Euler):
(a letraaqui é um fator geométrico que será o mesmo para modelo e protótipo e, portanto, irá cancelar quando compararmos os dois casos.) - Escala do modelo:
Passo 2
Qual é a ideia de “semelhança completa” e quais números adotar.
- Semelhança completa para escoamentos viscosos costuma exigir que os números adimensionais relevantes sejam iguais entre modelo e protótipo. Os principais aqui são:
- Número de Reynolds:
(média entre forças inerciais e viscosas). - Número de Euler (ou coeficiente adimensional relacionado à força de pressão/arrasto):
.
- Número de Reynolds:
- Para garantir semelhança total devemos igualar pelo menos
e . Como o enunciado já fornece a igualdade de Euler, usaremos ambas: primeiro igualamos para obter ; depois usamos a igualdade de Euler para obter .
Passo 3
Definir todas as variáveis e fórmulas que vamos usar.
- Variáveis:
-
: densidade e viscosidade dinâmica da água a (modelo). -
: densidade e viscosidade dinâmica da água a (protótipo). -
: comprimentos característicos do modelo e protótipo, com . -
: velocidades do modelo e do protótipo. -
: forças de arrasto medidas no modelo e a determinar no protótipo.
-
- Fórmulas:
Passo 4
Valores das propriedades da água a
e
(valores padrão de tabela).
- Usarei valores padrão de tabelas de propriedades da água:
- A
: - A
:
- A
- Obs.: esses números vêm de tabelas padrão de propriedades da água (tabelas de termofísica). Estou usando-os porque o enunciado não forneceu
e .
Passo 5
Converter a velocidade do modelo para unidades SI.
- Dado
. Converter para :
Passo 6
Igualar os números de Reynolds para encontrar
. Desenvolvimento e álgebra.
- Igualdade:
- Substituir
:
- Cancelar
(não precisamos do valor absoluto de ):
- Isolar
:
- Agora substituímos os números:
-
. -
-
- O fator
.
-
- Cálculo numérico:
- Fazer a multiplicação passo a passo:
-
- Converter para
:
Passo 7
Usar a igualdade do número de Euler para encontrar
. Desenvolvimento e álgebra.
- Igualdade de Euler:
- O fator geométrico
e cancelam; isolando :
- Usar
, então . Assim:
- Substituir valores conhecidos:
-
. -
-
. Logo - Fator
.
-
- Cálculo numérico:
- Multiplicando:
-
Passo 8
Interpretação física e verificação rápida de consistência.
- O resultado faz sentido qualitativo:
- O protótipo é 5 vezes maior que o modelo, e para manter o mesmo número de Reynolds a velocidade do protótipo precisa ser menor (porque
é maior). - Apesar da menor velocidade, a área característica (
) do protótipo é muito maior (fator ), e o termo que governa a força de arrasto leva a um valor de maior que . Assim é coerente: é maior que por causa da escala geométrica.
- O protótipo é 5 vezes maior que o modelo, e para manter o mesmo número de Reynolds a velocidade do protótipo precisa ser menor (porque
- Nota sobre precisão: usei valores tabulados para
e ; pequenas diferenças nas tabelas podem alterar ligeiramente os resultados, mas a ordem de grandeza e os valores numéricos aproximados permanecerão semelhantes.