Quer-se determinar a força de arrasto que age em um sonar de um submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala 1: 5. Os testes são realizados em água a 20^{\circ} \mathrm{C}, a uma velocidade de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e a força de arrasto medida é de 30 N . Sabendo que o protótipo será utilizado em água a 4^{\circ} \mathrm{C}, calcular a velocidade do submarino em condições de semelhança completa e, nessas condições, determinar a força de arrasto correspondente.
\text { Euler }_{m}=\text { Euler }_{p} \rightarrow\left(\frac{F a}{\frac{1}{2} \rho v^{2} L^{2}}\right)_{m}=\left(\frac{F a}{\frac{1}{2} \rho v^{2} L^{2}}\right)_{p}

Passo 1

Entender claramente o enunciado e listar os dados fornecidos.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a velocidade do protótipo (submarino) para haver semelhança completa entre modelo e protótipo.
    2. Nessa mesma condição de semelhança completa, determinar a força de arrasto no protótipo.
  • Dados fornecidos:
    • Escala do modelo: 1:5. Logo, se L_p é o comprimento do protótipo, o comprimento do modelo é L_m = \dfrac{L_p}{5}.
    • Velocidade do modelo: v_m = 60\\ \mathrm{km/h}.
    • Força de arrasto medida no modelo: F_m = 30\\ \mathrm{N}.
    • Temperatura da água no ensaio do modelo: 20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da água no serviço do protótipo: 4^\circ\mathrm{C}.
    • Fórmula dada (para o número de Euler):
    \text{Euler}=\frac{F\,a}{\tfrac{1}{2}\rho v^{2}L^{2}}
    (a letra a aqui é um fator geométrico que será o mesmo para modelo e protótipo e, portanto, irá cancelar quando compararmos os dois casos.)

Passo 2

Qual é a ideia de “semelhança completa” e quais números adotar.
  • Semelhança completa para escoamentos viscosos costuma exigir que os números adimensionais relevantes sejam iguais entre modelo e protótipo. Os principais aqui são:
    • Número de Reynolds: \displaystyle \text{Re}=\frac{\rho v L}{\mu} (média entre forças inerciais e viscosas).
    • Número de Euler (ou coeficiente adimensional relacionado à força de pressão/arrasto): \displaystyle \text{Eu}=\frac{F\,a}{\tfrac12\rho v^2 L^2}.
  • Para garantir semelhança total devemos igualar pelo menos \text{Re}_m=\text{Re}_p e \text{Eu}_m=\text{Eu}_p. Como o enunciado já fornece a igualdade de Euler, usaremos ambas: primeiro igualamos \text{Re} para obter v_p; depois usamos a igualdade de Euler para obter F_p.

Passo 3

Definir todas as variáveis e fórmulas que vamos usar.
  • Variáveis:
    • \rho_m,\\ \mu_m: densidade e viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C} (modelo).
    • \rho_p,\\ \mu_p: densidade e viscosidade dinâmica da água a 4^\circ\mathrm{C} (protótipo).
    • L_m,\\ L_p: comprimentos característicos do modelo e protótipo, com L_m=\dfrac{L_p}{5}.
    • v_m,\\ v_p: velocidades do modelo e do protótipo.
    • F_m,\\ F_p: forças de arrasto medidas no modelo e a determinar no protótipo.
  • Fórmulas: \text{Re}=\frac{\rho v L}{\mu}
\text{Eu}=\frac{F\,a}{\tfrac{1}{2}\rho v^{2}L^{2}}

Passo 4

Valores das propriedades da água a 20^\circ\mathrm{C} e 4^\circ\mathrm{C} (valores padrão de tabela).
  • Usarei valores padrão de tabelas de propriedades da água:
    • A 20^\circ\mathrm{C}: \rho_m = 998{,}2\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu_m = 1{,}002\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • A 4^\circ\mathrm{C}: \rho_p = 999{,}97\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}),\qquad \mu_p = 1{,}567\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Obs.: esses números vêm de tabelas padrão de propriedades da água (tabelas de termofísica). Estou usando-os porque o enunciado não forneceu \rho e \mu.

Passo 5

Converter a velocidade do modelo para unidades SI.
  • Dado v_m = 60\\ \mathrm{km/h}. Converter para \mathrm{m/s}:
v_m = \frac{60}{3{,}6} = 16{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 16{,}6667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Igualar os números de Reynolds para encontrar v_p. Desenvolvimento e álgebra.
  • Igualdade:
\text{Re}_m=\text{Re}_p \quad\Rightarrow\quad \frac{\rho_m v_m L_m}{\mu_m}=\frac{\rho_p v_p L_p}{\mu_p}.
  • Substituir L_m=\dfrac{L_p}{5}:
\frac{\rho_m v_m \left(\dfrac{L_p}{5}\right)}{\mu_m}=\frac{\rho_p v_p L_p}{\mu_p}.
  • Cancelar L_p (não precisamos do valor absoluto de L_p):
\frac{\rho_m v_m}{5\mu_m}=\frac{\rho_p v_p}{\mu_p}.
  • Isolar v_p:
v_p = v_m \cdot \frac{\rho_m}{\rho_p}\cdot\frac{\mu_p}{\mu_m}\cdot\frac{1}{5}.
  • Agora substituímos os números:
    • v_m=16{,}6667\\ \mathrm{m/s}.
    • \dfrac{\rho_m}{\rho_p}=\dfrac{998{,}2}{999{,}97}\approx 0{,}99873.
    • \dfrac{\mu_p}{\mu_m}=\dfrac{1{,}567\times 10^{-3}}{1{,}002\times 10^{-3}}\approx 1{,}5639.
    • O fator 1/5 = 0{,}2.
  • Cálculo numérico:
v_p = 16{,}6667\cdot 0{,}99873\cdot 1{,}5639\cdot 0{,}2.
  • Fazer a multiplicação passo a passo:
    • 0{,}99873\cdot 1{,}5639\cdot 0{,}2 \approx 0{,}3123.
    • v_p \approx 16{,}6667\cdot 0{,}3123 \approx 5{,}205\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter para \mathrm{km/h}:
v_p\\ (\mathrm{km/h}) = 5{,}205\cdot 3{,}6 \approx 18{,}738\\ \mathrm{km/h}\approx 18{,}74\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Usar a igualdade do número de Euler para encontrar F_p. Desenvolvimento e álgebra.
  • Igualdade de Euler:
\frac{F_m\,a}{\tfrac{1}{2}\rho_m v_m^{2} L_m^{2}}=\frac{F_p\,a}{\tfrac{1}{2}\rho_p v_p^{2} L_p^{2}}.
  • O fator geométrico a e \tfrac{1}{2} cancelam; isolando F_p:
F_p = F_m\cdot\frac{\rho_p v_p^{2} L_p^{2}}{\rho_m v_m^{2} L_m^{2}}.
  • Usar L_p/L_m = 5, então L_p^{2}/L_m^{2}=25. Assim:
F_p = F_m\cdot\frac{\rho_p}{\rho_m}\cdot\left(\frac{v_p}{v_m}\right)^{2}\cdot 25.
  • Substituir valores conhecidos:
    • F_m=30\\ \mathrm{N}.
    • \dfrac{\rho_p}{\rho_m}=\dfrac{999{,}97}{998{,}2}\approx 1{,}00177.
    • \dfrac{v_p}{v_m}=\dfrac{5{,}205}{16{,}6667}\approx 0{,}3123. Logo \left(\dfrac{v_p}{v_m}\right)^{2}\approx 0{,}09749.
    • Fator 25.
  • Cálculo numérico:
F_p = 30\cdot 1{,}00177\cdot 0{,}09749\cdot 25.
  • Multiplicando:
    • 0{,}09749\cdot 25 = 2{,}43725.
    • 1{,}00177\cdot 2{,}43725 \approx 2{,}44166.
    • F_p \approx 30\cdot 2{,}44166 \approx 73{,}25\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação física e verificação rápida de consistência.
  • O resultado faz sentido qualitativo:
    • O protótipo é 5 vezes maior que o modelo, e para manter o mesmo número de Reynolds a velocidade do protótipo precisa ser menor (porque L_p é maior).
    • Apesar da menor velocidade, a área característica ( \propto L^2) do protótipo é muito maior (fator 25), e o termo \rho v^2 L^2 que governa a força de arrasto leva a um valor de F_p maior que F_m. Assim F_p\approx 73{,}3\\ \mathrm{N} é coerente: é maior que 30\\ \mathrm{N} por causa da escala geométrica.
  • Nota sobre precisão: usei valores tabulados para \rho e \mu; pequenas diferenças nas tabelas podem alterar ligeiramente os resultados, mas a ordem de grandeza e os valores numéricos aproximados permanecerão semelhantes.

Resposta

v_p \approx 5{,}21\\ \mathrm{m/s} \;=\; 18{,}74\\ \mathrm{km/h}
F_p \approx 73{,}3\\ \mathrm{N}

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