O coeficiente para uma válvula de 600 mm de diâmetro de uma linha de ar a 26,67^{\circ} \mathrm{C} (Viscosidade cinemática =1,68 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) vai ser determinado a partir de ensaios numa válvula de 300 mm de diâmetro geometricamente semelhante A faixa de ensaios deve cobrir escoamentos de água a 21,1{ }^{\circ} \mathrm{C} (viscosidade 9,84 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ), de 1 a 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a faixa de velocidade de ar necessária?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a faixa de velocidade do ar necessária na válvula de 600\\ \mathrm{mm} (protótipo) para garantir similaridade dinâmica com ensaios feitos numa válvula geometricamente semelhante de 300\\ \mathrm{mm} (modelo) usando água. Dados fornecidos relevantes:
D_{\text{prot}}=0,6\\ \mathrm{m}\quad(\text{600 mm}),
D_{\text{mod}}=0,3\\ \mathrm{m}\quad(\text{300 mm}),
\nu_{\text{ar}}=1,68\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}\quad(\text{ar a }26,67^\circ\mathrm{C}),
\nu_{\text{água}}=9,84\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}\quad(\text{água a }21,1^\circ\mathrm{C}),áá
faixa de velocidades no modelo:
V_{\text{mod}}\in[\,1,\;25\,]\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Vamos entender a ferramenta que usamos: o número de Reynolds. É a grandeza que compara efeitos de inércia e de viscosidade no escoamento e é definido por
\mathrm{Re}=\frac{V\,D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, V é a velocidade média do fluido (em \mathrm{m/s}), D é uma dimensão característica (aqui o diâmetro, em \mathrm{m}) e \nu é a viscosidade cinemática do fluido (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}). Para similaridade dinâmica entre modelo e protótipo devemos igualar os números de Reynolds do modelo e do protótipo.

Passo 3

Escrevendo a igualdade de Reynolds entre modelo e protótipo:
\mathrm{Re}_{\text{mod}}=\mathrm{Re}_{\text{prot}}
\frac{V_{\text{mod}}\,D_{\text{mod}}}{\nu_{\text{água}}}=\frac{V_{\text{prot}}\,D_{\text{prot}}}{\nu_{\text{ar}}}.á
Isolando V_{\text{prot}} obtemos a relação que usaremos para calcular a velocidade do ar necessária:
V_{\text{prot}} = V_{\text{mod}}\cdot\frac{D_{\text{mod}}}{D_{\text{prot}}}\cdot\frac{\nu_{\text{ar}}}{\nu_{\text{água}}}.á

Passo 4

Agora vamos calcular cada fator numérico. Primeiro a razão de diâmetros:
\frac{D_{\text{mod}}}{D_{\text{prot}}}=\frac{0,3}{0,6}=0,5.
Em seguida a razão das viscosidades:
\frac{\nu_{\text{ar}}}{\nu_{\text{água}}}=\frac{1,68\times 10^{-5}}{9,84\times 10^{-7}}.á
Calculemos essa razão:
\frac{1,68\times 10^{-5}}{9,84\times 10^{-7}} = 17,07317073\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Multiplicando os fatores:
\frac{D_{\text{mod}}}{D_{\text{prot}}}\cdot\frac{\nu_{\text{ar}}}{\nu_{\text{água}}}=0,5\times 17,07317073=8,536585365\\ (\text{aprox.}).á
Portanto a velocidade do ar no protótipo é aproximadamente
V_{\text{prot}}\approx 8,536585365\;V_{\text{mod}}.

Passo 6

Aplicando a faixa de velocidades do modelo V_{\text{mod}}\in[\,1,\;25\,]\\ \mathrm{m/s}, obtemos a faixa para o ar:
V_{\text{prot,min}}=8,536585365\times 1\approx 8,536585365\\ \mathrm{m/s},
V_{\text{prot,max}}=8,536585365\times 25\approx 213,4146341\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais na parte baixa e uma na parte alta, mantendo coerência):
V_{\text{prot}}\approx[\,8,54,\;213,4\,]\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

8,54\\ \mathrm{m/s} a 213,4\\ \mathrm{m/s}

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