A potência de acionamento P de um ventilador centrífugo é considerada função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor D, da velocidade angular de rotação \Omega e da massa específica \rho.
Determine metodicamente os parâmetros adimensionais convenientes para esse problema.
Sugestão: escolha \Omega, \rho e D como variáveis repetitivas (grandezas de escala).
Passo 1
O enunciado define a potência P de um ventilador centrífugo como função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor D, da velocidade angular de rotação \Omega e da massa específica \rho. O objetivo é aplicar o Teorema de Buckingham para obter parâmetros adimensionais. Vamos usar as variáveis repetitivas sugeridas: \rho, \Omega e D.
Passo 2
Listamos as grandezas envolvidas e suas dimensões fundamentais:
– P: potência
[P]=\text{M\,L}^2\text{T}^{-3}
– Q: vazão volumétrica
[Q]=\text{L}^3\text{T}^{-1}
– D: comprimento
[D]=\text{L}
– \Omega: velocidade angular
[\Omega]=\text{T}^{-1}
– \rho: massa específica
[\rho]=\text{M\,L}^{-3}
Passo 3
Como variáveis repetitivas escolhemos \rho, \Omega e D. Elas são independentes e abarcam as dimensões M, L e T, permitindo formar 5-3=2 parâmetros adimensionais.
Passo 4
Construímos \pi_1\) a partir de \(P\):
\[\pi_1 = P\,\rho^{a}\,D^{b}\,\Omega^{c}
Impondo adimensionalidade:
[M^{1+a}\,L^{2-3a+b}\,T^{-3-c}] = M^0\,L^0\,T^0
o que gera o sistema
\begin{cases} 1 + a = 0,\\\\ 2 - 3a + b = 0,\\\\ -3 - c = 0. \end{cases}
Resolvendo, a=-1\], \(b=-5, c=-3. Logo,
\pi_1 = \frac{P}{\rho\,\Omega^3\,D^5}.
Passo 5
Construímos \pi_2\) a partir de \(Q\):
\[\pi_2 = Q\,\rho^{a}\,D^{b}\,\Omega^{c}.
Como Q não traz dimensão de massa, tomamos a=0 e impomos
[M^{0}\,L^{3+b}\,T^{-1-c}] = M^0\,L^0\,T^0
o que dá
\begin{cases} 3 + b = 0,\\\\ -1 - c = 0. \end{cases}