Uma bomba centrífuga, girando a 3000 rpm , bombeia água a uma taxa de
. A água entra radialmente (por vezes chamado axialmente - oposto de tangencial) (
), e deixa o rotor a
relativo às pás, que são radiais na saída. Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de
, estime as dimensões básicas (diâmetro e largura de saída do rotor), usando a equação de Euler para as turbomáquinas.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime as dimensões básicas do rotor na saída: o diâmetro externo do rotor e a largura (espessura axial) na saída. As informações dadas são:
- velocidade de rotação
, - vazão
, - água (usar
), - a água entra radialmente (ou seja
e ), - a velocidade relativa de saída em relação às pás é
e as pás são radiais na saída (logo a componente tangencial da velocidade relativa é ), - a bomba “requer”
e tem eficiência .
O que eu preciso encontrar: o diâmetro de saída do rotor
(ou raio
) e a largura de saída
.
Passo 2
Primeiro converto unidades e calculo a potência hidráulica efetiva que a bomba entrega ao fluido.
Converto a vazão para :
Converto a vazão para
A potência indicada no enunciado é a potência no eixo fornecida pela máquina
. A eficiência relaciona a potência hidráulica
com a potência no eixo por
Aplicando os números:
Passo 3
Agora uso a equação de Euler para turbomáquinas (forma por unidade de massa): a energia específica adicionada ao fluido (energia por unidade de massa) é
onde
é a velocidade periférica da pá (
) e
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido. Explico as variáveis:
-
é a velocidade angular em , -
é o raio do rotor, -
é a velocidade tangencial do ponto na pá ( ), -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (a velocidade real do fluido vista por um observador fixo).
No nosso caso
(entrada radial) e, como as pás são radiais na saída e a velocidade relativa de saída é puramente radial (
), a relação vetorial
para a componente tangencial dá
Logo a expressão de Euler reduz-se a
A potência hidráulica também pode ser escrita como massa por segundo vezes energia específica:
Isolando
:
Substituo os valores numéricos:
e
. Logo
Passo 4
Agora relaciono
com o raio de saída
. A velocidade angular é
Com
:
Como
, o raio é
O diâmetro de saída será
Passo 5
Agora calculo a largura de saída
usando a continuidade: a vazão é a área de passagem na saída vezes a velocidade meridional (a componente radial, aqui). A área de passagem para um rotor de largura
à distância
é
. A componente meridional (radial) da velocidade absoluta na saída é igual à velocidade relativa radial
porque a contribuição radial de
é zero; nos foi dado
e esse vetor é radial, então
. Assim:
Isolando
:
Substituo os valores:
,
,
. Calculo o denominador:
Logo
Passo 6
Resumo numérico e interpretação curta: o resultado dá um rotor pequeno e rápido — diâmetro de saída cerca de
e largura de saída muito pequena, cerca de
. Esses valores fazem sentido para uma bomba de alta rotação e baixíssima vazão; em projetos reais poderia-se aumentar a largura ou reduzir a rotação para obter dimensões mais “práticas”, ou considerar múltiplos estágios.