Uma bomba centrífuga, girando a 3000 rpm , bombeia água a uma taxa de 0,6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A água entra radialmente (por vezes chamado axialmente - oposto de tangencial) ( \alpha_{1}=90^{\circ}, v_{1 \theta}=0 ), e deixa o rotor a 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} relativo às pás, que são radiais na saída. Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de 72 \%, estime as dimensões básicas (diâmetro e largura de saída do rotor), usando a equação de Euler para as turbomáquinas.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime as dimensões básicas do rotor na saída: o diâmetro externo do rotor e a largura (espessura axial) na saída. As informações dadas são:
  • velocidade de rotação n=3000\\ \mathrm{rpm},
  • vazão Q=0{,}6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min},
  • água (usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3),
  • a água entra radialmente (ou seja \alpha_1=90^\circ e v_{1\theta}=0),
  • a velocidade relativa de saída em relação às pás é w_2=5{,}4\\ \mathrm{m/s} e as pás são radiais na saída (logo a componente tangencial da velocidade relativa é w_{2\theta}=0),
  • a bomba “requer” 5\\ \mathrm{kW} e tem eficiência \eta=72\%.
O que eu preciso encontrar: o diâmetro de saída do rotor d_2 (ou raio r_2) e a largura de saída b_2.

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo a potência hidráulica efetiva que a bomba entrega ao fluido.
Converto a vazão para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{0{,}6}{60}=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}.
A potência indicada no enunciado é a potência no eixo fornecida pela máquina P_{\text{shaft}}=5\\ \mathrm{kW}=5000\\ \mathrm{W}. A eficiência relaciona a potência hidráulica P_h com a potência no eixo por
P_h=\eta\,P_{\text{shaft}}.
Aplicando os números:
P_h=0{,}72\times 5000=3600\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora uso a equação de Euler para turbomáquinas (forma por unidade de massa): a energia específica adicionada ao fluido (energia por unidade de massa) é
\Delta e = u_2 v_{2\theta} - u_1 v_{1\theta},
onde u é a velocidade periférica da pá ( u=\omega r) e v_{\theta} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido. Explico as variáveis:
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s},
  • r é o raio do rotor,
  • u é a velocidade tangencial do ponto na pá ( \mathrm{m/s}),
  • v_{ \theta} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (a velocidade real do fluido vista por um observador fixo).
No nosso caso v_{1\theta}=0 (entrada radial) e, como as pás são radiais na saída e a velocidade relativa de saída é puramente radial ( w_{2\theta}=0), a relação vetorial
\mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w}
para a componente tangencial dá
v_{2\theta}=u_2 + w_{2\theta}=u_2 + 0 = u_2.
Logo a expressão de Euler reduz-se a
\Delta e = u_2 v_{2\theta}=u_2^2.
A potência hidráulica também pode ser escrita como massa por segundo vezes energia específica:
P_h = \dot m \,\Delta e = \rho Q \,u_2^2.
Isolando u_2:
u_2 = \sqrt{\frac{P_h}{\rho Q}}.
Substituo os valores numéricos: \rho Q = 1000\times 0{,}01=10\\ \mathrm{kg/s} e P_h=3600\\ \mathrm{W}. Logo
u_2=\sqrt{\frac{3600}{10}}=\sqrt{360}=18{,}97\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox. }19{,}0\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Agora relaciono u_2 com o raio de saída r_2. A velocidade angular é
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Com n=3000\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi\frac{3000}{60}=2\pi\cdot 50=100\pi\approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s}.
Como u_2=\omega r_2, o raio é
r_2=\frac{u_2}{\omega}=\frac{18{,}97}{314{,}16}=0{,}0604\\ \mathrm{m}.
O diâmetro de saída será
d_2=2r_2=2\times 0{,}0604=0{,}1208\\ \mathrm{m}\approx 0{,}121\\ \mathrm{m}\\ (121\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Agora calculo a largura de saída b_2 usando a continuidade: a vazão é a área de passagem na saída vezes a velocidade meridional (a componente radial, aqui). A área de passagem para um rotor de largura b_2 à distância r_2 é A=2\pi r_2 b_2. A componente meridional (radial) da velocidade absoluta na saída é igual à velocidade relativa radial w_{2r} porque a contribuição radial de u é zero; nos foi dado w_2=5{,}4\\ \mathrm{m/s} e esse vetor é radial, então v_{2r}=5{,}4\\ \mathrm{m/s}. Assim:
Q = A\,v_{2r} = 2\pi r_2 b_2 v_{2r}.
Isolando b_2:
b_2 = \frac{Q}{2\pi r_2 v_{2r}}.
Substituo os valores: Q=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}, r_2=0{,}0604\\ \mathrm{m}, v_{2r}=5{,}4\\ \mathrm{m/s}. Calculo o denominador:
2\pi r_2 v_{2r}=2\pi\times 0{,}0604\times 5{,}4\approx 2{,}049.
Logo
b_2=\frac{0{,}01}{2{,}049}\approx 0{,}00488\\ \mathrm{m}=4{,}88\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resumo numérico e interpretação curta: o resultado dá um rotor pequeno e rápido — diâmetro de saída cerca de 0{,}12\\ \mathrm{m} e largura de saída muito pequena, cerca de 5\\ \mathrm{mm}. Esses valores fazem sentido para uma bomba de alta rotação e baixíssima vazão; em projetos reais poderia-se aumentar a largura ou reduzir a rotação para obter dimensões mais “práticas”, ou considerar múltiplos estágios.

Resposta

d_2\approx 0{,}121\\ \mathrm{m}
b_2\approx 0{,}00488\\ \mathrm{m}

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