A bomba centrífuga em questão possui diâmetro de entrada ( \mathrm{d}_{1} ) de 7 polegadas e diâmetro de saída (d2) de 13 polegadas, com larguras de pá de 4 polegadas na entrada (bı) e 3 polegadas na saída (b2). Os ângulos das pás são de 25^{\circ} na entrada ( \beta_{1} ) e 40^{\circ} na saída ( \beta_{2} ), operando a uma velocidade de rotação de 1160 rpm . Considerando o escoamento de gasolina a 20^{\circ} \mathrm{C} com entrada radial do fluido nas pás (ângulo absoluto de entrada \alpha_{1}=90^{\circ} ), devem ser estimados os valores teóricos para: (a) a vazão volumétrica em galões por minuto (gpm), (b) a potência requerida em horsepower (hp), e (c) a altura manométrica produzida em pés (ft).

Passo 1

O enunciado dá os dados geométricos, operacionais e do fluido e pede três grandezas. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &d_{1}=7\\ \text{in},\quad d_{2}=13\\ \text{in},\\\ &b_{1}=4\\ \text{in},\quad b_{2}=3\\ \text{in},\\\ &\beta_{1}=25^\circ,\quad \beta_{2}=40^\circ,\\\ &n=1160\\ \text{rpm},\quad \alpha_{1}=90^\circ\\ (\text{escoamento radial na entrada}),\\\ &\text{fluido: gasolina a }20^\circ\text{C (densidade será assumida adiante).} \end{aligned}á
O que o problema pede:
(a) a vazão volumétrica em galões por minuto (gpm),\n
(b) a potência requerida em horsepower (hp),\n
(c) a altura manométrica produzida em pés (ft).

Passo 2

Princípios físicos e estratégia de solução (passo-a-passo didático).
  1. Continuidade (vazão constante pelo anel): a velocidade meridional (radial) \,c_m e a seção hidráulica anular A=2\pi r b satisfazem
Q = A\,c_m = 2\pi r b\, c_m.
Como Q é a mesma na entrada e na saída, temos 2\pi r_1 b_1 c_{m1}=2\pi r_2 b_2 c_{m2}.
  1. Triângulos de velocidade e relação entre \,c_m, \,u e \beta.
  • Definições: \,u=r\omega é a velocidade tangencial da pá; \,c é a velocidade absoluta do fluido; \,w é a velocidade relativa (fluido visto pela pá). A componente meridional (radial) é c_m. A componente tangencial absoluta é c_\theta.
  • No ponto de entrada temos \alpha_1=90^\circ\Rightarrow c_{\theta1}=0 (escoamento puramente radial, sem componente tangencial absoluta).
  • A relação geométrica do triângulo de velocidades na entrada (visto que \beta_1 é o ângulo entre w_1 e a tangente) dá, para a entrada:
\tan\beta_1=\frac{c_{m1}}{u_1-c_{\theta1}}=\frac{c_{m1}}{u_1}\quad(\text{pois }c_{\theta1}=0).
Logo:
c_{m1}=u_1\tan\beta_1.
  1. Com isso conseguimos obter Q diretamente pela seção e c_{m1}:
Q = 2\pi r_1 b_1 c_{m1}=2\pi r_1 b_1 u_1\tan\beta_1.
Isto é importante: quando a entrada é radial e as pás impõem \beta_1, a vazão é fixada pela velocidade periférica na entrada e pelas dimensões de entrada.
  1. Equação de Euler para máquinas hidráulicas (trabalho específico por unidade de massa):
\Delta E_\text{teórico\,(por massa)} = u_2 c_{\theta2} - u_1 c_{\theta1}.ó
Como c_{\theta1}=0, o trabalho específico fornecido ao fluido por unidade de massa é u_2 c_{\theta2}. Convertendo para altura manométrica:
H = \frac{u_2 c_{\theta2}}{g},
onde g é a aceleração da gravidade (usarei g=32{,}174\\ \text{ft/s}^2).
  1. Para obter c_{\theta2} usamos o triângulo de velocidades na saída: a relação entre \beta_2, c_{m2}, u_2 e c_{\theta2} é (rearranjando a definição de \tan\beta_2):
\tan\beta_2=\frac{c_{m2}}{u_2-c_{\theta2}} \quad\Rightarrow\quad c_{\theta2}=u_2-\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}.
  1. Potência hidráulica teórica (ideal) e conversão para horsepower: usando peso específico \gamma do fluido (força por volume, em lbf/ft^3),
P_\text{hidraulic\,(lbf\,ft/s)}=\gamma\,Q\,H.
Convertendo para horsepower:
P(\text{hp})=\frac{\gamma\,Q\,H}{550},
pois 1\\ \text{hp}=550\\ \text{ft}\cdot\text{lbf/s}.
  1. Precisamos de uma densidade (ou peso específico) da gasolina a 20^\circC — o enunciado não deu. Vou adotar um valor típico: gravidade específica \text{SG}\approx0{,}74 (média para gasolina). Como a água tem peso específico \gamma_\text{água}\approx62{,}43\\ \text{lbf/ft}^3á, tomo:
\gamma=\text{SG}\times 62{,}43\\ \text{lbf/ft}^3\approx 0{,}74\times 62{,}43\approx 46{,}2\\ \text{lbf/ft}^3.
(Se você tiver outro valor no enunciado da prova, substitua; o procedimento é o mesmo.)

Passo 3

Conversões iniciais e cálculo da velocidade angular e velocidade periférica.
  1. Converter comprimentos de polegadas para pés:
\begin{aligned} &r_1=\frac{d_1}{2}=\frac{7}{2}\\ \text{in}=\frac{7}{24}\\ \text{ft}\approx 0{,}2916667\\ \text{ft},\\\ &r_2=\frac{d_2}{2}=\frac{13}{2}\\ \text{in}=\frac{13}{24}\\ \text{ft}\approx 0{,}5416667\\ \text{ft},\\\ &b_1=\frac{4}{12}\\ \text{ft}=\frac{1}{3}\\ \text{ft}\approx 0{,}3333333\\ \text{ft},\\\ &b_2=\frac{3}{12}\\ \text{ft}=\frac{1}{4}\\ \text{ft}=0{,}25\\ \text{ft}. \end{aligned}
  1. Velocidade angular:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot1160}{60}=\frac{116\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 121{,}4749\\ \text{rad/s}.
  1. Velocidades periféricas nas duas seções:
\begin{aligned} &u_1=r_1\omega=\frac{7}{24}\,\omega\approx 35{,}4302\\ \text{ft/s},\\\ &u_2=r_2\omega=\frac{13}{24}\,\omega\approx 65{,}7981\\ \text{ft/s}. \end{aligned}

Passo 4

Cálculo da vazão (a). Usando a fórmula deduzida:
Q=2\pi r_1 b_1 u_1 \tan\beta_1.
  1. Calcular \tan\beta_1:
\tan\beta_1=\tan(25^\circ)\approx 0{,}4663077.
  1. Área anular efetiva na entrada:
A_1=2\pi r_1 b_1=2\pi\cdot\frac{7}{24}\cdot\frac{1}{3}= \frac{7\pi}{36}\\ \text{ft}^2\approx 0{,}6108658\\ \text{ft}^2.
  1. Velocidade meridional na entrada:
c_{m1}=u_1\tan\beta_1\approx 35{,}4302\times 0{,}4663077\approx 16{,}520\\ \text{ft/s}.
  1. Vazão em \text{ft}^3/\text{s}:
Q=A_1 c_{m1}\approx 0{,}6108658\times 16{,}520\approx 10{,}089\\ \text{ft}^3/\text{s}.
  1. Converter para galões por minuto (gpm). Sabendo 1\\ \text{ft}^3/\text{s}=448{,}831\\ \text{gpm} (aprox.):
Q(\text{gpm})=Q(\text{ft}^3/\text{s})\times 448{,}831\approx 10{,}089\times 448{,}831\approx 4{,}526{,}5\\ \text{gpm}.
Portanto a vazão teórica é cerca de \,4{,}527\\ \text{gpm} (arredondando).

Passo 5

Cálculo da altura manométrica \text{(c)} — primeiro determinamos c_{m2} e c_{\theta2}.
  1. Continuidade para achar c_{m2}:
c_{m2}=\frac{Q}{2\pi r_2 b_2}.
Mas mais simples usando razão:
c_{m2}=c_{m1}\frac{r_1 b_1}{r_2 b_2}.
Calcule a razão:
\frac{r_1 b_1}{r_2 b_2}=\frac{\frac{7}{24}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{13}{24}\cdot\frac{1}{4}}=\frac{7/72}{13/96}=\frac{7}{72}\cdot\frac{96}{13}=\frac{7\cdot96}{72\cdot13}=\frac{672}{936}\approx 0{,}718.
Logo
c_{m2}\approx 16{,}520\times 0{,}718\approx 11{,}867\\ \text{ft/s}.
  1. Calcular \tan\beta_2=\tan(40^\circ)\approx 0{,}8390996.
  2. Encontrar c_{\theta2} pela relação do triângulo de velocidades:
c_{\theta2}=u_2-\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}\approx 65{,}7981-\frac{11{,}867}{0{,}8390996}\approx 65{,}7981-14{,}145\approx 51{,}653\\ \text{ft/s}.
  1. Aplicar a equação de Euler para obter a cabeça teórica:
H=\frac{u_2 c_{\theta2}}{g}=\frac{65{,}7981\times 51{,}653}{32{,}174}\\ \text{ft}\approx\frac{3{,}396{,}9}{32{,}174}\\ \text{ft}\approx 105{,}6\\ \text{ft}.
Arredondando: altura manométrica teórica H\approx 106\\ \text{ft}.

Passo 6

Cálculo da potência requerida (b) — potência hidráulica teórica e conversão para hp.
  1. Já adotamos o peso específico da gasolina:
\gamma\approx 46{,}2\\ \text{lbf/ft}^3.
  1. Potência hidráulica em ft·lbf/s:
P_\text{hidraulic}=\gamma Q H\approx 46{,}2\times 10{,}089\times 105{,}6\\ \text{ft}\cdot\text{lbf/s}.
Calcule o numerador:
46{,}2\times 10{,}089\approx 466{,}6\quad\text{e}\quad 466{,}6\times 105{,}6\approx 49{,}274\\ \text{ft}\cdot\text{lbf/s}.
  1. Converter para horsepower:
P(\text{hp})=\frac{P_\text{hidraulic}}{550}\approx\frac{49{,}274}{550}\approx 89{,}6\\ \text{hp}.
Portanto potência teórica requerida P\approx 89{,}6\\ \text{hp}.

Passo 7

Resumo numérico final (valores arredondados com coerência significativa):
  • Vazão: Q\approx 10{,}09\\ \text{ft}^3/\text{s}\approx 4{,}527\\ \text{gpm}.\n
  • Altura manométrica: H\approx 105{,}6\\ \text{ft}\approx 106\\ \text{ft}.\n
  • Potência hidráulica teórica: P\approx 89{,}6\\ \text{hp}.
Observações didáticas finais (rápidas): usamos hipótese de escoamento sem pré-giro ( c_{\theta1}=0), triângulos de velocidades com os ângulos das pás dados e desprezamos perdas (por isso os valores são teóricos). A escolha da densidade da gasolina ( \text{SG}=0{,}74) influencia a potência, mas afeta pouco a vazão e a altura, que são governadas geometricamente e pela velocidade periférica.

Resposta

(a) Q\approx 4{,}527\\ \text{gpm}\n
(b) P\approx 89{,}6\\ \text{hp}\n
(c) H\approx 105{,}6\\ \text{ft}

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