Considere uma bomba centrífuga que bombeia água com geometria:
Parâmetro Valor
Raio de entrada do rotor (R1) 2,5 \mathrm{~cm}
Raio de saída do rotor (R2) 18 cm
Largura de saída do rotor (b2) 1 cm
Velocidade de projeto (N) 1800 rpm
Vazão de projeto (Q) 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}
Ângulo de saída das pás ( \beta 2 ) 75^{\circ}
Faixa de vazão requerida 50-150% do projeto
Considerando o comportamento ideal da bomba, com eficiência de 100 \%, determine altura na condição de bloqueio (shutoff). Em seguida, calcule as velocidades de descarga absoluta e relativa, a altura manométrica total e a potência teórica necessária para a vazão de projeto, conforme referência

Passo 1

O enunciado pede: (1) a altura na condição de bloqueio (shutoff) considerando comportamento ideal (eficiência 100\%); (2) para a vazão de projeto, calcular as velocidades de descarga absoluta e relativa, a altura manométrica total e a potência teórica necessária. Dados fornecidos (vou listar todos os que vou usar explicitamente):
\begin{aligned} &R_1 = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m},\\\ &R_2 = 18\\ \mathrm{cm} = 0{,}18\\ \mathrm{m},\\\ &b_2 = 1\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m},\\\ &N = 1800\\ \mathrm{rpm},\\\ &Q = 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} = 0{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ &\beta_2 = 75^\circ,\\\ &\rho_{\text{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\text{usarei este valor}),\\\ &g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}á
Observações que vou usar sem perguntar: vou assumir ausência de pré-vórtice na entrada (ou seja, a componente tangencial absoluta na entrada vale praticamente zero: \;V_{t1}=0\;). Esse é um pressuposto padrão quando a entrada do rotor é radial e não há pré-giros.

Passo 2

Primeiro converto a velocidade de rotação para velocidade angular e cálculo as velocidades periféricas ( U) nas raias interna e externa:
A velocidade angular é
\omega = \frac{2\pi N}{60}.
Calculando numericamente:
\omega = \frac{2\pi\cdot 1800}{60} = 60\pi\\ \mathrm{rad/s}.
As velocidades periféricas (linear do aro) são
U_1 = \omega R_1,\qquad U_2 = \omega R_2.
Substituindo:
U_1 = 60\pi\cdot 0{,}025 = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\\ \mathrm{m/s},
U_2 = 60\pi\cdot 0{,}18 = 10{,}8\pi \approx 33{,}93\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Altura na condição de bloqueio (shutoff). Explicação física e fórmula utilizada:
  • A equação de Euler para turbomáquinas dá a altura teórica fornecida pela roda por unidade de gravidade:
H = \frac{U_2 V_{t2} - U_1 V_{t1}}{g},
onde V_{t} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (sinal tomado positivo no sentido da rotação).
  • Na condição de bloqueio (fluxo Q=0) a componente radial V_r na saída é nula. Isso implica que a velocidade relativa na saída W_2 tem componente radial zero e, portanto, sua componente tangencial relativa W_{t2}=0. Assim, a velocidade absoluta tangencial na saída fica igual à velocidade periférica:
V_{t2} = U_2.
  • Com V_{t1}\approx 0 (pressuposto do passo 1), obtemos
H_{\text{shut}} = \frac{U_2^2}{g}.
Agora calculo numericamente:
U_2^2 = (33{,}9292\\ \mathrm{m/s})^2 \approx 1151{,}55\\ \mathrm{m^2/s^2},
H_{\text{shut}} = \frac{1151{,}55}{9{,}81} \approx 117{,}36\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: com bomba bloqueada, as pás “imprimem” somente a velocidade periférica ao fluido, daí a forma U_2^2/g.

Passo 4

Agora calculo as velocidades na condição de projeto ( Q=0{,}5\\ \mathrm{m^3/s}). Primeiro a componente radial de velocidade na saída por continuidade (assumindo escoamento uniformemente distribuído ao longo da circunferência na seção de saída):
A equação de continuidade para a seção anular na saída (fluxo conservado) é
Q = 2\pi R_2 b_2\, V_{r2},
logo
V_{r2} = \frac{Q}{2\pi R_2 b_2}.
Substituindo numericamente:
V_{r2} = \frac{0{,}5}{2\pi\cdot 0{,}18\cdot 0{,}01} \approx 44{,}21\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Relação entre o ângulo da pá \beta_2 e as componentes da velocidade relativa:
  • No triângulo de velocidades na saída: a velocidade relativa W_2 tem componentes radial V_{r2} (positiva para fora) e tangencial relativa W_{t2}. O ângulo \beta_2 é o ângulo entre a direção tangencial e a velocidade relativa W_2. Geometricamente:
\tan\beta_2 = \frac{V_{r2}}{|W_{t2}|}.
  • Para pás curvadas no sentido contrário à rotação (pás “retrocedidas”, como aqui com \beta_2=75^\circ), a componente tangencial relativa aponta no sentido oposto à rotação; seu valor escalar positivo é |W_{t2}|=\dfrac{V_{r2}}{\tan\beta_2}. O sinal efetivo será tal que a componente absoluta tangencial resulta em V_{t2}=U_2 - |W_{t2}|.
Calculo de W_{t2} (magnitude) e do módulo de W_2:
|W_{t2}| = \frac{V_{r2}}{\tan\beta_2} = \frac{44{,}2149}{\tan 75^\circ}.
\tan 75^\circ \approx 3{,}73205 \quad\Rightarrow\quad |W_{t2}|\approx 11{,}85\\ \mathrm{m/s}.
Componente relativa radial é V_{r2}=44{,}21\\ \mathrm{m/s}, então a magnitude da velocidade relativa é
W_2 = \sqrt{V_{r2}^2 + |W_{t2}|^2} \approx \sqrt{44{,}2149^2 + 11{,}8479^2} \approx 45{,}78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora obtenho a componente tangencial absoluta na saída V_{t2} (atenção ao sinal por causa da curvatura das pás):
  • Para pás retrógradas a componente tangencial relativa tende a reduzir a componente tangencial absoluta; portanto
V_{t2} = U_2 - |W_{t2}|.
Numericamente:
V_{t2} = 33{,}9292 - 11{,}8479 \approx 22{,}08\\ \mathrm{m/s}.
Com isso, a magnitude da velocidade absoluta de descarga é
V_2 = \sqrt{V_{r2}^2 + V_{t2}^2} \approx \sqrt{44{,}2149^2 + 22{,}0813^2} \approx 49{,}42\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo da altura manométrica total (altura teórica segundo Euler) na vazão de projeto:
Usando novamente a fórmula de Euler (com V_{t1}\approx 0):
H = \frac{U_2 V_{t2} - U_1 V_{t1}}{g} \approx \frac{U_2 V_{t2}}{g}.
Substituindo os valores obtidos:
U_2 V_{t2} \approx 33{,}9292 \times 22{,}0813 \approx 749{,}07\\ \mathrm{m^2/s^2},
H \approx \frac{749{,}07}{9{,}81} \approx 76{,}34\\ \mathrm{m}.
Interpretação: este é o salto de carga que a roda fornece idealmente ao fluido na vazão de projeto.

Passo 8

Cálculo da potência teórica necessária (potência hidráulica ideal), assumindo eficiência 100\%:
A potência hidráulica é
P = \rho g Q H.
Substituindo:
P = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 \cdot 76{,}34 \approx 374{,}6\\ \mathrm{kW}.
(Em watts: P \approx 374{,}600\\ \mathrm{W}.)

Resposta

H_{\text{shut}} = 117{,}36\\ \mathrm{m}
Velocidades na descarga (vazão de projeto Q=0{,}5\\ \mathrm{m^3/s}):
V_{r2} = 44{,}21\\ \mathrm{m/s};\quad V_{t2} = 22{,}08\\ \mathrm{m/s};\quad V_2 = 49{,}42\\ \mathrm{m/s}.
|W_{t2}| = 11{,}85\\ \mathrm{m/s};\quad W_2 = 45{,}78\\ \mathrm{m/s}.
H_{\text{manométrica}} = 76{,}34\\ \mathrm{m}é
P_{\text{teórica}} = 374{,}6\\ \mathrm{kW}ó

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