Uma placa retangular tem altura 400 mm e largura 200 mm, uma de suas faces é mantida a 60^{\circ} \mathrm{C} e sobre a outra escoa ar a 160^{\circ} \mathrm{C}. A placa tem espesura 40 mm e é feita de uma liga com condutividade térmica 28 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. O coeficiente de transfrência de calor por convecção entre a placa e o ar é 130 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine: A temperatura da superfície da placa em contato com o ar:
\square
{ }^{\circ} \mathrm{C} ;
O módulo do fluxo de calor pela placa:
\square
kW/m²;
A taxa de transferência de calor:
\square
kW .

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. A temperatura da superfície da placa em contato com o ar.
  2. O módulo do fluxo de calor através da placa (por unidade de área).
  3. A taxa total de transferência de calor (potência).
Informações fornecidas (anotei todas):
  • Altura da placa: 0,400\\ \mathrm{m}.
  • Largura da placa: 0,200\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da placa: L = 0,040\\ \mathrm{m} (conversão de 40\\ \mathrm{mm} para metros).
  • Temperatura de uma face mantida: T_{\text{fixa}} = 60^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar que escoa sobre a outra face: T_\infty = 160^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do material: k = 28\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
  • Coeficiente de transferência por convecção: h = 130\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^2K}.
Área de cada face da placa (usarei para a taxa total):
A = 0,400\\ \mathrm{m}\times 0,200\\ \mathrm{m} = 0,080\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Vamos entender as leis físicas e definir as quantidades que vamos usar (com linguagem bem simples):
  • Convecção na face exposta ao ar segue a lei de Newton do resfriamento:
q'' = h\bigl(T_s - T_\infty\bigr),
onde q'' é o fluxo de calor por unidade de área (positivo do sólido para o fluido), e T_s é a temperatura da superfície da placa em contato com o ar.
  • Condução na placa (plano-paralela, regime estacionário, aproximação 1D) segue a lei de Fourier:
q'' = -k\,\frac{T_{\text{fixa}} - T_s}{L}.
O sinal menos aparece na forma geral; aqui vamos trabalhar com módulo/valor da diferença de temperatura.
Podemos combinar as duas resistências térmicas (convecção e condução) como resistências em série por unidade de área. A forma prática útil é:
q'' = \dfrac{T_\infty - T_{\text{fixa}}}{\dfrac{1}{h} + \dfrac{L}{k}}.
Nesta fórmula:
  • \dfrac{1}{h} é a resistência térmica por convecção por unidade de área ( \mathrm{K\,m^2/W}).
  • \dfrac{L}{k} é a resistência térmica por condução da placa por unidade de área ( \mathrm{K\,m^2/W}).
  • O numerador T_\infty - T_{\text{fixa}} é o salto térmico total entre o ar e a face mantida.
Explico por que essa fórmula funciona: o fluxo é o mesmo através de cada “resistência” em série; então
q'' = \frac{T_\infty-T_s}{1/h} = \frac{T_s-T_{\text{fixa}}}{L/k}.
Somando as quedas de temperatura e isolando q'' chega-se à fórmula acima.

Passo 3

Calcular as resistências numéricas:
Resistência por condução:
\frac{L}{k}=\frac{0,040}{28}=0,00142857142857\\ \mathrm{K\,m^2/W}.
Resistência por convecção:
\frac{1}{h}=\frac{1}{130}=0,00769230769231\\ \mathrm{K\,m^2/W}.
Resistência total:
R_{\text{total}}=\frac{1}{h}+\frac{L}{k}=0,00912087912088\\ \mathrm{K\,m^2/W}.

Passo 4

Calcular o fluxo por unidade de área q'' usando a fórmula do Passo 2:
q''=\frac{T_\infty-T_{\text{fixa}}}{R_{\text{total}}} =\frac{160-60}{0,00912087912088} =\frac{100}{0,00912087912088}.
Fazendo a divisão obtemos (valor em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2):
q''\approx 10\,963,86\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Se preferir em \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2, dividimos por 1000:
q''\approx 10,964\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Determinar a temperatura da superfície T_s. Podemos usar a queda convectiva:
T_s = T_\infty - \frac{q''}{h}.
Substituindo valores (usando q'' em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2):
T_s = 160 - \frac{10\,963,8554}{130} \approx 160 - 84,337345 \approx 75,662655^\circ\mathrm{C}.
Como checagem, poderia usar a queda por condução:
T_s = T_{\text{fixa}} + q''\frac{L}{k} =60 + 10\,963,8554\times 0,00142857142857 \approx 60 + 15,662655 \approx 75,662655^\circ\mathrm{C},
o que confirma o resultado.

Passo 6

Calcular a taxa total de transferência de calor \dot{Q} multiplicando o fluxo por área:
\dot{Q}=q''\times A =10\,963,8554\\ \mathrm{W/m}^2\times 0,080\\ \mathrm{m}^2 \approx 877,1084\\ \mathrm{W}.
Em \mathrm{kW}:
\dot{Q}\approx 0,877\\ \mathrm{kW}.

Resposta

T_s \approx 75,66^\circ\mathrm{C}
q'' \approx 10,964\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2
\dot{Q} \approx 0,877\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados