Questão 6 - Compare as distribuições de temperatura numa haste cilíndrica reta com diâmetro de 2 cm e comprimento de 10 cm exposta a um ambiente cujo
, para três materiais diferentes: cobre (
), aço inoxidável (
) e vidro (
). Compare também o fluxo de calor relativo e as eficiências das aletas.
Passo 1
O enunciado me dá uma haste cilíndrica reta com diâmetro
(logo raio
) e comprimento
. A haste está exposta ao ambiente com coeficiente convectivo
. Os condutores a comparar têm condutividades térmicas:
O que a questão pede:
- Comparar as distribuições de temperatura ao longo da haste para os três materiais (ou seja, como
varia do base para a ponta). - Comparar os fluxos de calor relativos (quantidade de calor que a aleta/haste remove por diferença de temperatura na base).
- Calcular as eficiências das aletas (definição usada aqui será a eficiência da aleta
= calor extraído pela aleta dividido por vezes a área total da aleta vezes a diferença de temperatura de base; também mostrarei a efetividade da aleta que é o ganho relativo em relação à área da base).
Dados geométricos úteis que vou usar (dados do enunciado):
Não começarei a resolver ainda; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Modelo físico e equação que governa a temperatura: vou tratar a haste como uma “aleta cilíndrica” unidimensional (temperatura varia só ao longo do eixo
), submetida à convecção ao longo da superfície lateral e com convecção na ponta. Trabalhamos no regime estacionário, sem geração interna. Defino:
onde
é a temperatura ambiente. A equação diferencial em uma aleta com perda ao longo da barra é a equação clássica de segunda ordem:
Aqui
é um parâmetro da aleta dado por
onde
Significado físico das variáveis:
-
mede a distância a partir da base ( base; ponta). -
é o excesso de temperatura sobre o ambiente. -
mede a tendência da aleta a perder calor ao longo do comprimento: maior → maior decaimento (mais “curto alcance” do calor).
Condições de contorno típicas que vou usar (convectivas na ponta):
No extremo
a condição de convecção na ponta é
Para cilindro a área da ponta é
, portanto a condição pode ser escrita como
Passo 3
Solução geral da equação e forma conveniente para cálculo:
A solução geral da ODE é
A solução geral da ODE é
Aplicando
dá
. Impondo a condição de convecção na ponta e resolvendo para
(padronizado em livros de transferência de calor) obtemos a forma conveniente
Observações:
- Essa forma é prática porque elimina constantes e normaliza pela
. - A temperatura na ponta é
.
Agora calculo os parâmetros geométricos numéricos (vou manter várias casas e arredondar os resultados finais):
Uma simplificação algébrica prática: para os números dados
logo
Calculo de
e de
para cada material:
- Cobre (
):
- Aço inox (
):
- Vidro (
):
Também é útil o fator
que aparece na fórmula. Valores:
- Cobre:
- Aço inox:
- Vidro:
Passo 4
Cálculo das distribuições normalizadas
em pontos representativos e temperatura na ponta (usando a fórmula do Passo 3). Vou dar os valores para
(base),
,
,
,
— isto deixa claro a forma da curva.
Primeiro, a ponta (resultado direto):
Valores numéricos:
- Cobre:
. Então e
- Aço inox:
. Então e
- Vidro: para
cosh e sinh são enormes; numericamente , então
Agora alguns pontos internos (apenas os números finais para cada material; parecem razoáveis para ver a forma):
Cobre (
):
Aço inox (
):
Vidro (
):
Interpretação qualitativa das distribuições:
- Cobre: quase isoterma ao longo da aleta (perda pequena), a ponta mantém ≈93% da diferença de temperatura da base → a aleta conduz calor facilmente, espalhando temperatura para toda a haste.
- Aço inox: queda moderada; a ponta fica com ≈32% da diferença de base → a aleta tem gradiente significativo e parte do comprimento pouco contribui.
- Vidro: queda muito acentuada perto da base; a ponta praticamente alcança o ambiente → material com baixa condutividade não leva calor até a ponta.
Passo 5
Cálculo do fluxo de calor na base
(calor extraído pela aleta) e das eficiências. Fórmula para o calor na base (solução conhecida para aleta com ponta convectiva):
que, após manipulação algébrica, pode ser escrita convenientemente como
Uma simplificação útil que já vimos é
, mas vou usar a forma numérica direta.
Valores numéricos (calculei
por unidade de
, isto é,
em
). Também preciso da área total de superfície da aleta (lateral + ponta):
Calculei:
- Cobre:
- Aço inox:
- Vidro:
Comparação relativa dos fluxos (tomando o cobre como referência):
Definição e cálculo da eficiência da aleta (usada aqui): eficiência
da aleta é a razão entre o calor realmente removido pela aleta e o calor que seria removido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base:
Valores:
- Cobre:
- Aço inox:
- Vidro:
Outra quantidade importante é a efetividade da aleta
(quanto a aleta aumenta o resfriamento em relação à área da base
):
Como
:
- Cobre:
- Aço inox:
- Vidro:
Passo 6
Interpretação final e recomendações rápidas (práticas):
- Materiais de alta condutividade (
grande) conduzem calor muito bem ao longo da aleta; resultado: temperatura quase uniforme e alta eficiência da aleta. No nosso caso o cobre é excelente: a ponta mantém ~93% da diferença de base, eficiência ~96% e efetividade ≈20 (ou seja, cada aleta equivale a 20 vezes a área da base sozinha). - Materiais com condutividade intermediária (aço inox) apresentam gradiente notável e eficiência moderada (~53%). Ainda vale a pena a aleta, mas parte do comprimento não aproveita tanto.
- Materiais de baixa condutividade (vidro) são péssimos para aletas: a temperatura cai muito perto da base, eficiência baixa (~12%) e efetividade pequena (~2,5). Nesse caso a adição de comprimento da aleta quase não ajuda a remover mais calor.
- Em aplicações práticas, para maximizar troca térmica convectiva com peso/volume razoável, prefira materiais com
grande (cobre, alumínio). Se só houver materiais pobres em condutividade, a estratégia é aumentar o número de aletas curtas e próximas em vez de uma aleta longa, ou usar materiais diferentes.
Resposta
Cobre:
Aço inox:
Vidro: