Questão 6 - Compare as distribuições de temperatura numa haste cilíndrica reta com diâmetro de 2 cm e comprimento de 10 cm exposta a um ambiente cujo h=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, para três materiais diferentes: cobre ( \mathrm{k}=385 \mathrm{W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), aço inoxidável ( \mathrm{k}=17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) e vidro ( \mathrm{k}=0,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Compare também o fluxo de calor relativo e as eficiências das aletas.

Passo 1

O enunciado me dá uma haste cilíndrica reta com diâmetro 2\\ \mathrm{cm} (logo raio r=0{,}01\\ \mathrm{m}) e comprimento L=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. A haste está exposta ao ambiente com coeficiente convectivo h=25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!.\!^\circ\mathrm{C}. Os condutores a comparar têm condutividades térmicas:
\text{cobre: }k=385\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C},\quad \text{aço inox: }k=17\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C},\quad \text{vidro: }k=0{,}8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C}.ç
O que a questão pede:
  1. Comparar as distribuições de temperatura ao longo da haste para os três materiais (ou seja, como T(x) varia do base para a ponta).
  2. Comparar os fluxos de calor relativos (quantidade de calor que a aleta/haste remove por diferença de temperatura na base).
  3. Calcular as eficiências das aletas (definição usada aqui será a eficiência da aleta \eta = calor extraído pela aleta dividido por h vezes a área total da aleta vezes a diferença de temperatura de base; também mostrarei a efetividade da aleta \varepsilon que é o ganho relativo em relação à área da base).
Dados geométricos úteis que vou usar (dados do enunciado):
r=0{,}01\\ \mathrm{m},\quad A_c=\pi r^{2},\quad P=2\pi r,\quad L=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Não começarei a resolver ainda; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Modelo físico e equação que governa a temperatura: vou tratar a haste como uma “aleta cilíndrica” unidimensional (temperatura varia só ao longo do eixo x), submetida à convecção ao longo da superfície lateral e com convecção na ponta. Trabalhamos no regime estacionário, sem geração interna. Defino:
\theta(x)=T(x)-T_\infty,
onde T_\infty é a temperatura ambiente. A equação diferencial em uma aleta com perda ao longo da barra é a equação clássica de segunda ordem:
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0.
Aqui m é um parâmetro da aleta dado por
m^{2}=\frac{hP}{kA_{c}},
onde
A_{c}=\pi r^{2}\quad\text{(área da secção transversal)},\qquad P=2\pi r\quad\text{(perímetro lateral)}.áçãí
Significado físico das variáveis:
  • x mede a distância a partir da base ( x=0 base; x=L ponta).
  • \theta(x) é o excesso de temperatura sobre o ambiente.
  • m mede a tendência da aleta a perder calor ao longo do comprimento: maior m → maior decaimento (mais “curto alcance” do calor).
Condições de contorno típicas que vou usar (convectivas na ponta):
\theta(0)=\theta_{b}\quad\text{(base conhecida)}.
No extremo x=L a condição de convecção na ponta é
-kA_{c}\theta'(L)=hA_{\text{tip}}\theta(L).
Para cilindro a área da ponta é A_{\text{tip}}=A_{c}, portanto a condição pode ser escrita como
\theta'(L)=-\frac{h}{k}\theta(L).

Passo 3

Solução geral da equação e forma conveniente para cálculo:
A solução geral da ODE é
\theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx).
Aplicando \theta(0)=\theta_{b} C_{1}=\theta_{b}. Impondo a condição de convecção na ponta e resolvendo para C_{2} (padronizado em livros de transferência de calor) obtemos a forma conveniente
\boxed{\displaystyle \frac{\theta(x)}{\theta_{b}} = \frac{\operatorname{cosh}\!\big(m(L-x)\big)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}\!\big(m(L-x)\big)} {\operatorname{cosh}\!(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}\!(mL)} }.
Observações:
  • Essa forma é prática porque elimina constantes e normaliza pela \theta_{b}.
  • A temperatura na ponta é \displaystyle\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Agora calculo os parâmetros geométricos numéricos (vou manter várias casas e arredondar os resultados finais):
A_{c}=\pi r^{2}=\pi(0{,}01)^{2}=3{,}14159265\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
P=2\pi r=2\pi(0{,}01)=0{,}062831853\\ \mathrm{m}.
Uma simplificação algébrica prática: para os números dados
m^{2}=\frac{hP}{kA_{c}}=\frac{25\cdot 0{,}06283185}{k\cdot 3{,}14159265\times10^{-4}} =\frac{5000}{k},
logo
m=\sqrt{\frac{5000}{k}}\quad(\mathrm{m}^{-1}).
Calculo de m e de mL para cada material:
  • Cobre ( k=385):
m^{2}=\frac{5000}{385}=12{,}9870\quad\Rightarrow\quad m=3{,}6043\\ \mathrm{m}^{-1},
mL=3{,}6043\times0{,}10=0{,}36043.
  • Aço inox ( k=17):
m^{2}=\frac{5000}{17}=294{,}1176\quad\Rightarrow\quad m=17{,}1464\\ \mathrm{m}^{-1},
mL=1{,}71464.
  • Vidro ( k=0{,}8):
m^{2}=\frac{5000}{0{,}8}=6250\quad\Rightarrow\quad m=79{,}0569\\ \mathrm{m}^{-1},
mL=7{,}90569.
Também é útil o fator
\gamma\equiv\frac{h}{mk},
que aparece na fórmula. Valores:
  • Cobre: \gamma= \dfrac{25}{3{,}6043\cdot385}=0{,}01801.
  • Aço inox: \gamma=\dfrac{25}{17{,}1464\cdot17}=0{,}08576.
  • Vidro: \gamma=\dfrac{25}{79{,}0569\cdot0{,}8}=0{,}39543.

Passo 4

Cálculo das distribuições normalizadas \theta(x)/\theta_{b} em pontos representativos e temperatura na ponta (usando a fórmula do Passo 3). Vou dar os valores para x=0 (base), x=L/4, x=L/2, x=3L/4, x=L — isto deixa claro a forma da curva.
Primeiro, a ponta (resultado direto):
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)+\gamma\operatorname{sinh}(mL)}.
Valores numéricos:
  • Cobre: \operatorname{cosh}(0{,}36043)=1{,}06595,\\ \operatorname{sinh}(0{,}36043)=0{,}36855. Então D=\operatorname{cosh}+\gamma\operatorname{sinh}=1{,}07258 e
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{1{,}07258}=0{,}9321.
  • Aço inox: \operatorname{cosh}(1{,}71464)=2{,}8680,\\ \operatorname{sinh}(1{,}71464)=2{,}6880. Então D=3{,}0986 e
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}=\frac{1}{3{,}0986}=0{,}3227.
  • Vidro: para mL=7{,}90569 cosh e sinh são enormes; numericamente D\approx1{,}892\times10^{3}, então
\frac{\theta(L)}{\theta_{b}}\approx5{,}29\times10^{-4}.
Agora alguns pontos internos (apenas os números finais para cada material; parecem razoáveis para ver a forma):
Cobre ( mL=0{,}36043):
\frac{\theta(0)}{\theta_{b}}=1,\quad \frac{\theta(L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}9714,\quad \frac{\theta(L/2)}{\theta_{b}}\approx0{,}9505,\quad \frac{\theta(3L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}9379,\quad \frac{\theta(L)}{\theta_{b}}\approx0{,}9321.
Aço inox ( mL=1{,}71464):
\frac{\theta(0)}{\theta_{b}}=1,\quad \frac{\theta(L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}6745,\quad \frac{\theta(L/2)}{\theta_{b}}\approx0{,}4754,\quad \frac{\theta(3L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}3651,\quad \frac{\theta(L)}{\theta_{b}}\approx0{,}3227.
Vidro ( mL=7{,}90569):
\frac{\theta(0)}{\theta_{b}}=1,\quad \frac{\theta(L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}1385,\quad \frac{\theta(L/2)}{\theta_{b}}\approx0{,}01918,\quad \frac{\theta(3L/4)}{\theta_{b}}\approx0{,}002684,\quad \frac{\theta(L)}{\theta_{b}}\approx5{,}29\times10^{-4}.
Interpretação qualitativa das distribuições:
  • Cobre: quase isoterma ao longo da aleta (perda pequena), a ponta mantém ≈93% da diferença de temperatura da base → a aleta conduz calor facilmente, espalhando temperatura para toda a haste.
  • Aço inox: queda moderada; a ponta fica com ≈32% da diferença de base → a aleta tem gradiente significativo e parte do comprimento pouco contribui.
  • Vidro: queda muito acentuada perto da base; a ponta praticamente alcança o ambiente → material com baixa condutividade não leva calor até a ponta.

Passo 5

Cálculo do fluxo de calor na base q_{f} (calor extraído pela aleta) e das eficiências. Fórmula para o calor na base (solução conhecida para aleta com ponta convectiva):
q_{f}=-kA_{c}\theta'(0)
que, após manipulação algébrica, pode ser escrita convenientemente como
\boxed{\displaystyle q_{f}=\Big(mkA_{c}\operatorname{sinh}(mL)+hA_{c}\operatorname{cosh}(mL)\Big)\frac{\theta_{b}}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)} }.
Uma simplificação útil que já vimos é mkA_{c}=\sqrt{hPkA_{c}}, mas vou usar a forma numérica direta.
Valores numéricos (calculei q_{f} por unidade de \theta_{b}, isto é, q_{f}/\theta_{b} em \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}). Também preciso da área total de superfície da aleta (lateral + ponta):
A_{s}=P L + A_{\text{tip}}=P L + A_{c}=0{,}006283185+0{,}000314159=0{,}006597344\\ \mathrm{m}^{2}.
Calculei:
  • Cobre: q_{f}\big/\theta_{b}\approx0{,}1577\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
  • Aço inox: q_{f}\big/\theta_{b}\approx0{,}08673\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
  • Vidro: q_{f}\big/\theta_{b}\approx0{,}01984\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Comparação relativa dos fluxos (tomando o cobre como referência):
\frac{q_{f,\text{aço}}}{q_{f,\text{cobre}}}\approx0{,}550,\qquad \frac{q_{f,\text{vidro}}}{q_{f,\text{cobre}}}\approx0{,}126.ç
Definição e cálculo da eficiência da aleta (usada aqui): eficiência \eta da aleta é a razão entre o calor realmente removido pela aleta e o calor que seria removido se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base:
\eta=\frac{q_{f}}{hA_{s}\theta_{b}}.
Valores:
  • Cobre:
hA_{s}\theta_{b}=25\cdot0{,}006597344\cdot\theta_{b}=0{,}164934\\ \theta_{b}\\ (\mathrm{W}),
\eta_{\text{cobre}}=\frac{0{,}1577}{0{,}164934}\approx0{,}956\quad(95{,}6\%).
  • Aço inox:
\eta_{\text{aço}}\approx\frac{0{,}08673}{0{,}164934}\approx0{,}526\quad(52{,}6\%).ç
  • Vidro:
\eta_{\text{vidro}}\approx\frac{0{,}01984}{0{,}164934}\approx0{,}120\quad(12{,}0\%).
Outra quantidade importante é a efetividade da aleta \varepsilon (quanto a aleta aumenta o resfriamento em relação à área da base A_{c}):
\varepsilon=\frac{q_{f}}{hA_{c}\theta_{b}}.
Como hA_{c}=25\cdot3{,}14159\times10^{-4}=0{,}00785398\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}:
  • Cobre: \varepsilon_{\text{cobre}}=\dfrac{0{,}1577}{0{,}00785398}\approx20{,}07.
  • Aço inox: \varepsilon_{\text{aço}}\approx11{,}05.ç
  • Vidro: \varepsilon_{\text{vidro}}\approx2{,}53.

Passo 6

Interpretação final e recomendações rápidas (práticas):
  • Materiais de alta condutividade ( k grande) conduzem calor muito bem ao longo da aleta; resultado: temperatura quase uniforme e alta eficiência da aleta. No nosso caso o cobre é excelente: a ponta mantém ~93% da diferença de base, eficiência ~96% e efetividade ≈20 (ou seja, cada aleta equivale a 20 vezes a área da base sozinha).
  • Materiais com condutividade intermediária (aço inox) apresentam gradiente notável e eficiência moderada (~53%). Ainda vale a pena a aleta, mas parte do comprimento não aproveita tanto.
  • Materiais de baixa condutividade (vidro) são péssimos para aletas: a temperatura cai muito perto da base, eficiência baixa (~12%) e efetividade pequena (~2,5). Nesse caso a adição de comprimento da aleta quase não ajuda a remover mais calor.
  • Em aplicações práticas, para maximizar troca térmica convectiva com peso/volume razoável, prefira materiais com k grande (cobre, alumínio). Se só houver materiais pobres em condutividade, a estratégia é aumentar o número de aletas curtas e próximas em vez de uma aleta longa, ou usar materiais diferentes.

Resposta

Cobre: \theta(L)/\theta_{b}\approx0{,}9321,\quad q_{f}/\theta_{b}\approx0{,}1577\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},\quad \eta\approx95{,}6\%,\quad \varepsilon\approx20{,}07.
Aço inox: \theta(L)/\theta_{b}\approx0{,}3227,\quad q_{f}/\theta_{b}\approx0{,}08673\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},\quad \eta\approx52{,}6\%,\quad \varepsilon\approx11{,}05.
Vidro: \theta(L)/\theta_{b}\approx5{,}29\times10^{-4},\quad q_{f}/\theta_{b}\approx0{,}01984\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},\quad \eta\approx12{,}0\%,\quad \varepsilon\approx2{,}53.

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