Uma bomba centrífuga radial, operando com água, tem as seguintes características. D_{1}= 150 \mathrm{~mm} ; \mathrm{D}_{2}=450 \mathrm{~mm} ; \mathrm{b}_{1}=40 \mathrm{~mm} ; \mathrm{b}_{2}=20 \mathrm{~mm} ; \beta_{1}=10^{\circ} ; \beta_{2}=30^{\circ} ; \mathrm{n}=1500 \mathrm{rpm} ; \eta_{\mathrm{H}}=90 \%; \eta_{\mathrm{M}}=85 \%.calcular:
a)A vazão teórica, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ;(1,0)
b) A altura manométrica teórica; (1,0)
c) A potência (teórica) transmitida ao fluido; (1,0)
d) O momento (teórico) fornecido ao fluido, em kgf.m, ( 1,0 )
e)A potência da bomba, em CV, considerando 10 \% de recirculação (vazão); (3,0)
f) À potência do motor elétrico a ser comprado, considerando um rendimento de 95 \% para o mesmo. (B, O)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &D_{1}=150\\ \text{mm}=0{,}150\\ \text{m},\quad D_{2}=450\\ \text{mm}=0{,}450\\ \text{m},\\\ &b_{1}=40\\ \text{mm}=0{,}040\\ \text{m},\quad b_{2}=20\\ \text{mm}=0{,}020\\ \text{m},\\\ &\beta_{1}=10^\circ,\quad \beta_{2}=30^\circ,\\\ &n=1500\\ \text{rpm},\quad \eta_H=90\%=0{,}90,\quad \eta_M=85\%=0{,}85. \end{aligned}
O que é pedido:
a) A vazão teórica Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
b) A altura manométrica teórica H (Euler) em metros.
c) A potência teórica transmitida ao fluido P_{th} (potência hidráulica teórica) em watts.
d) O momento (torque) teórico fornecido ao fluido, em \mathrm{kgf\cdot m}.
e) A potência da bomba, em CV, considerando 10\% de recirculação na vazão.
f) A potência do motor elétrico a ser comprado, considerando rendimento do motor 95\%.
Observações úteis (já previstas para a resolução): usarei água com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Não vou pedir nada a mais — vou resolver com os dados acima.

Passo 2

Como calcular a vazão teórica Q (passo a passo e fórmula usada)
Explicação didática curta: a vazão que passa pela seção do anel do rotor (em uma volta completa) é a área meridional da seção vezes a velocidade meridional c_m. A área meridional na periferia (seção em D com largura b) é:
A = 2\pi r b = \pi D b.
Portanto a vazão em uma dada seção é
Q = A\,c_m = \pi D b\, c_m.
No ponto de entrada (seção 1, diâmetro D_1), assumimos que a velocidade absoluta tangencial c_{u1} é desprezível (fluxo axial de entrada), e pelas relações do triângulo de velocidades no bordo de entrada do rotor temos (pelo triângulo relativo):
\tan\beta_1=\frac{c_{m1}}{U_1}\quad\Rightarrow\quad c_{m1}=U_1\tan\beta_1,
onde U_1 é a velocidade periférica no raio r_1=D_1/2. Logo:
Q=\pi D_1 b_1\, U_1\tan\beta_1.
Agora explico o que é U: é a velocidade tangencial do filete devido à rotação:
U=\omega r=\frac{2\pi n}{60}\cdot\frac{D}{2}=\frac{\pi n D}{60}.
Com essas fórmulas nós podemos calcular Q diretamente.

Passo 3

Cálculo numérico de U_1 e U_2 (velocidades periféricas)
Primeiro calculemos U_1 e U_2 usando \displaystyle U=\frac{\pi n D}{60}.
U_1=\frac{\pi\cdot 1500\cdot 0{,}150}{60}=\pi\cdot 3{,}75\approx 11{,}78097\\ \mathrm{m/s},
U_2=\frac{\pi\cdot 1500\cdot 0{,}450}{60}=\pi\cdot 11{,}25\approx 35{,}34292\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da vazão teórica Q
Usando a fórmula do Passo 2:
Q=\pi D_1 b_1\, U_1\tan\beta_1.
Substituindo numericamente ( \tan 10^\circ\approx 0{,}17632698):
Q=\pi\cdot 0{,}150\cdot 0{,}040\cdot 11{,}78097\cdot 0{,}17632698.
Faço as contas em etapas:
\pi D_1 b_1=\pi\cdot 0{,}150\cdot 0{,}040\approx 0{,}0188496,
\pi D_1 b_1\cdot U_1\approx 0{,}0188496\cdot 11{,}78097\approx 0{,}222136,
Q\approx 0{,}222136\cdot 0{,}17632698\approx 0{,}039120\\ \mathrm{m^3/s}.
Então a vazão teórica é
Q\approx 0{,}03912\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Como calcular a altura manométrica teórica H (explicando a fórmula de Euler)
A fórmula de Euler para máquinas rotativas dá a energia específica (altura) fornecida pelo rotor ao fluido:
H=\frac{U_2 c_{u2}-U_1 c_{u1}}{g}.
Como assumimos c_{u1}\approx 0 (entrada sem componente tangencial apreciável), temos
H=\frac{U_2 c_{u2}}{g}.
Precisamos então encontrar c_{u2}, o componente tangencial da velocidade absoluta na saída. Pelo triângulo de velocidades na saída, com a abertura das pás \beta_2, vale:
\tan\beta_2=\frac{c_{m2}}{U_2-c_{u2}}\quad\Rightarrow\quad c_{u2}=U_2-\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}.
E c_{m2} é obtido pela continuidade na seção 2:
c_{m2}=\frac{Q}{\pi D_2 b_2}.
Agora aplicamos numericamente.

Passo 6

Cálculos numéricos para H
Calcule c_{m2}:
c_{m2}=\frac{Q}{\pi D_2 b_2}=\frac{0{,}039120}{\pi\cdot 0{,}450\cdot 0{,}020}.
Calculo do denominador:
\pi D_2 b_2=\pi\cdot 0{,}450\cdot 0{,}020\approx 0{,}02827433.
Logo
c_{m2}\approx\frac{0{,}039120}{0{,}02827433}\approx 1{,}3837\\ \mathrm{m/s}.
Agora c_{u2} usando \tan 30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}57735027:
c_{u2}=U_2-\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}\approx 35{,}34292-\frac{1{,}3837}{0{,}57735027}\approx 35{,}34292-2{,}3970\approx 32{,}9459\\ \mathrm{m/s}.
Finalmente a altura:
H=\frac{U_2 c_{u2}}{g}=\frac{35{,}34292\cdot 32{,}9459}{9{,}81}\approx\frac{1164{,}295}{9{,}81}\approx 118{,}76\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
H\approx 118{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Potência teórica transmitida ao fluido P_{th}
A potência hidráulica (teórica) transmitida ao fluido é
P_{th}=\rho g Q H.
Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q\approx0{,}03912\\ \mathrm{m^3/s}, H\approx118{,}76\\ \mathrm{m},
P_{th}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}039120\cdot 118{,}76\approx 45{,}560\\ \mathrm{W}.
Ou seja cerca de 45{,}56\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Momento (torque) teórico fornecido ao fluido
O torque em \mathrm{N\cdot m} é dado por
\tau=\frac{P_{th}}{\omega},
com \omega=\dfrac{2\pi n}{60}=\dfrac{2\pi\cdot 1500}{60}=50\pi\approx 157{,}0796\\ \mathrm{rad/s}.
\tau_{N\cdot m}=\frac{45{,}560}{157{,}0796}\approx 290{,}11\\ \mathrm{N\cdot m}.
Para converter para \mathrm{kgf\cdot m} usamos 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}, portanto
\tau_{\mathrm{kgf\cdot m}}=\frac{\tau_{N\cdot m}}{9{,}80665}\approx\frac{290{,}11}{9{,}80665}\approx 29{,}59\\ \mathrm{kgf\cdot m}.

Passo 9

Considerando 10\% de recirculação (vazão): recalculo de Q, H e potência hidráulica real
Interpretação (curta e prática): recirculação de 10\% significa que a vazão efetiva pelo trilho principal é 90\% da vazão teórica. Assim:
Q_{act}=0{,}90\;Q=0{,}90\cdot 0{,}039120\approx 0{,}035208\\ \mathrm{m^3/s}.
Recalculo c_{m2} com Q_{act}:
c_{m2,act}=\frac{Q_{act}}{\pi D_2 b_2}=\frac{0{,}035208}{0{,}02827433}\approx 1{,}2453\\ \mathrm{m/s}.
Recalculo c_{u2,act}:
c_{u2,act}=U_2-\frac{c_{m2,act}}{\tan\beta_2}=35{,}34292-\frac{1{,}2453}{0{,}57735027}\approx 33{,}1859\\ \mathrm{m/s}.
Recalculo altura H_{act}:
H_{act}=\frac{U_2 c_{u2,act}}{g}=\frac{35{,}34292\cdot 33{,}1859}{9{,}81}\approx 119{,}62\\ \mathrm{m}.
Note que a altura aumentou levemente (efeito típico: queda de vazão tende a aumentar a altura fornecida).
Potência hidráulica real entregue à água:
P_{water,act}=\rho g Q_{act} H_{act}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}035208\cdot 119{,}62\approx 41{,}338\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Potência da bomba (e conversão para CV) usando eficiências \eta_H e \eta_M
Explicação: a potência que o eixo da bomba precisa entregar (potência na árvore, antes do motor) é maior que a potência hidráulica por causa de perdas. Considerando as eficiências dadas:
  • \eta_H é a eficiência hidráulica (relação água/impulsor),
  • \eta_M é a eficiência mecânica (do eixo/vedações, etc.).
Portanto a potência no eixo P_{shaft} será, assumindo multiplicação das eficiências:
P_{shaft}=\frac{P_{water,act}}{\eta_H\cdot\eta_M}.
Substituindo números ( \eta_H\cdot\eta_M=0{,}90\cdot 0{,}85=0{,}765):
P_{shaft}=\frac{41{,}338}{0{,}765}\approx 54{,}020\\ \mathrm{W}.
Converter para CV (1 CV = 735{,}49875\\ \mathrm{W}):
P_{shaft\,(CV)}=\frac{54{,}020}{735{,}49875}\approx 73{,}47\\ \mathrm{CV}.
Arredondando para apresentação: P_{bomba}\approx 73{,}5\\ \mathrm{CV}.

Passo 11

Potência do motor elétrico a ser comprado (considerando rendimento do motor 95\%)
Se o eixo da bomba exige P_{shaft}, o motor deve fornecer:
P_{motor}=\frac{P_{shaft}}{\eta_{motor}}=\frac{54{,}020}{0{,}95}\approx 56{,}863\\ \mathrm{W}.
Em CV:
P_{motor\,(CV)}=\frac{56{,}863}{735{,}49875}\approx 77{,}33\\ \mathrm{CV}.
Na prática escolher-se-ia um motor comercial com potência superior ou igual (por exemplo, 80 CV).

Resposta

a) Q\approx 0{,}03912\\ \mathrm{m^3/s}
b) H\approx 118{,}8\\ \mathrm{m}
c) P_{th}=\rho g Q H\approx 45{,}560\\ \mathrm{W} (≈ 45{,}56\\ \mathrm{kW})
d) \tau\approx 29{,}59\\ \mathrm{kgf\cdot m}
e) Potência da bomba (com 10% recirculação): P_{shaft}\approx 54{,}020\\ \mathrm{W}\approx 73{,}5\\ \mathrm{CV}
f) Potência do motor a comprar (η_motor=95%): P_{motor}\approx 56{,}863\\ \mathrm{W}\approx 77{,}3\\ \mathrm{CV}

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